如图 3-9,CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高,设 BC= a,AC= b,AB= c,CD= h,AD= m,DB= n.你能尝试写出这些线段之间的数量关系吗?
答案：【解析】：
本题主要考查勾股定理以及三角形面积公式的应用。
在直角三角形中，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
同时，利用三角形面积公式，可以得到$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，进一步化简得到$ab=ch$。
再者，在直角三角形中，根据射影定理，有$b^{2}=mc$和$a^{2}=nc$。
最后，由于$AB=AD+DB$，所以$c=m+n$。
【答案】：
解：由勾股定理得，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
由三角形面积公式得，$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，即$ab=ch$；
由射影定理得，$b^{2}=mc$，$a^{2}=nc$；
且$c=m+n$。
本题主要考查勾股定理以及三角形面积公式的应用。
在直角三角形中，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
同时，利用三角形面积公式，可以得到$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，进一步化简得到$ab=ch$。
再者，在直角三角形中，根据射影定理，有$b^{2}=mc$和$a^{2}=nc$。
最后，由于$AB=AD+DB$，所以$c=m+n$。
【答案】：
解：由勾股定理得，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$；
由三角形面积公式得，$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，即$ab=ch$；
由射影定理得，$b^{2}=mc$，$a^{2}=nc$；
且$c=m+n$。
例 古希腊数学家海伦在解决三角形面积计算问题时,提出了著名的海伦公式:已知三角形三边的长度a,b,c,令半周长$ p= \frac{a+b+c}{2} $,则三角形面积$ S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $.大约在同一时期,中国南宋数学家秦九韶也独立推导出了类似公式——三斜求积术.秦九韶从三角形三边的长出发,运用勾股定理构造出了可以计算三角形面积的公式,与海伦公式本质相同.因此,海伦公式又被称为海伦-秦九韶公式.你能从上述描述中,运用勾股定理推导出海伦—秦九韶公式吗?
答案：解：设△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则DC=a-x，AD=h。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：h² + x² = c² ①
在Rt△ACD中，由勾股定理得：h² + (a-x)² = b² ②
② - ①得：(a-x)² - x² = b² - c²
展开得：a² - 2ax = b² - c²
解得：x = (a² + c² - b²)/(2a)
将x代入①得：h² = c² - [(a² + c² - b²)/(2a)]²
化简得：h² = [4a²c² - (a² + c² - b²)²]/(4a²)
分子因式分解：4a²c² - (a² + c² - b²)² = (2ac + a² + c² - b²)(2ac - a² - c² + b²) = [(a+c)² - b²][b² - (a-c)²] = (a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)
设p = (a+b+c)/2，则a+c-b=2(p-b)，b+a-c=2(p-c)，b-a+c=2(p-a)
∴h² = [16p(p-a)(p-b)(p-c)]/(4a²) = [4p(p-a)(p-b)(p-c)]/a²
∴h = [2√(p(p-a)(p-b)(p-c))]/a
三角形面积S = (1/2)ah = (1/2)a·[2√(p(p-a)(p-b)(p-c))]/a = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
即S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：h² + x² = c² ①
在Rt△ACD中，由勾股定理得：h² + (a-x)² = b² ②
② - ①得：(a-x)² - x² = b² - c²
展开得：a² - 2ax = b² - c²
解得：x = (a² + c² - b²)/(2a)
将x代入①得：h² = c² - [(a² + c² - b²)/(2a)]²
化简得：h² = [4a²c² - (a² + c² - b²)²]/(4a²)
分子因式分解：4a²c² - (a² + c² - b²)² = (2ac + a² + c² - b²)(2ac - a² - c² + b²) = [(a+c)² - b²][b² - (a-c)²] = (a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)
设p = (a+b+c)/2，则a+c-b=2(p-b)，b+a-c=2(p-c)，b-a+c=2(p-a)
∴h² = [16p(p-a)(p-b)(p-c)]/(4a²) = [4p(p-a)(p-b)(p-c)]/a²
∴h = [2√(p(p-a)(p-b)(p-c))]/a
三角形面积S = (1/2)ah = (1/2)a·[2√(p(p-a)(p-b)(p-c))]/a = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
即S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2。
1. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里. 里法三百步,欲知为田几何？”问题大意：如图,在△ABC 中,AB= 13 里,BC= 14 里,AC= 15 里,则△ABC 的面积是(
A.80 平方里
B.82 平方里
C.84 平方里
D.86 平方里
C
).A.80 平方里
B.82 平方里
C.84 平方里
D.86 平方里
答案：【解析】：本题可根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再通过面积公式求解三角形的面积，也可利用海伦公式直接计算三角形面积。
方法一：利用勾股定理的逆定理和面积公式求解
步骤一：判断三角形的形状
已知在$\triangle ABC$中，$AB = 13$里，$BC = 14$里，$AC = 15$里。
过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，设$BD = x$里，则$CD=(14 - x)$里。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理可得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=13^{2}-x^{2}$；
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理可得$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=15^{2}-(14 - x)^{2}$。
所以$13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14 - x)^{2}$，
即$169 - x^{2}=225-(196 - 28x + x^{2})$，
去括号得$169 - x^{2}=225 - 196 + 28x - x^{2}$，
移项可得$-x^{2}+x^{2}-28x=225 - 196 - 169$，
合并同类项得$-28x=-140$，
解得$x = 5$。
步骤二：计算$AD$的长度
把$x = 5$代入$AD^{2}=13^{2}-x^{2}$，可得$AD^{2}=13^{2}-5^{2}=169 - 25 = 144$，
因为$AD\gt0$，所以$AD = 12$里。
步骤三：计算$\triangle ABC$的面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底$BC = 14$里，高$AD = 12$里，
所以${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×14×12 = 84$（平方里）。
方法二：利用海伦公式求解
海伦公式为$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，其中$a$、$b$、$c$为三角形的三边，$p=\frac{a + b + c}{2}$为半周长。
已知$a = 14$里，$b = 15$里，$c = 13$里，则$p=\frac{14 + 15 + 13}{2}=\frac{42}{2}=21$（里）。
所以${S}_{\triangle ABC}=\sqrt{21×(21 - 14)×(21 - 15)×(21 - 13)}=\sqrt{21×7×6×8}=\sqrt{7056}=84$（平方里）。
综上，$\triangle ABC$的面积是$84$平方里，答案选C。
【答案】：C
方法一：利用勾股定理的逆定理和面积公式求解
步骤一：判断三角形的形状
已知在$\triangle ABC$中，$AB = 13$里，$BC = 14$里，$AC = 15$里。
过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，设$BD = x$里，则$CD=(14 - x)$里。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理可得$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=13^{2}-x^{2}$；
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理可得$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=15^{2}-(14 - x)^{2}$。
所以$13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14 - x)^{2}$，
即$169 - x^{2}=225-(196 - 28x + x^{2})$，
去括号得$169 - x^{2}=225 - 196 + 28x - x^{2}$，
移项可得$-x^{2}+x^{2}-28x=225 - 196 - 169$，
合并同类项得$-28x=-140$，
解得$x = 5$。
步骤二：计算$AD$的长度
把$x = 5$代入$AD^{2}=13^{2}-x^{2}$，可得$AD^{2}=13^{2}-5^{2}=169 - 25 = 144$，
因为$AD\gt0$，所以$AD = 12$里。
步骤三：计算$\triangle ABC$的面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底$BC = 14$里，高$AD = 12$里，
所以${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×14×12 = 84$（平方里）。
方法二：利用海伦公式求解
海伦公式为$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，其中$a$、$b$、$c$为三角形的三边，$p=\frac{a + b + c}{2}$为半周长。
已知$a = 14$里，$b = 15$里，$c = 13$里，则$p=\frac{14 + 15 + 13}{2}=\frac{42}{2}=21$（里）。
所以${S}_{\triangle ABC}=\sqrt{21×(21 - 14)×(21 - 15)×(21 - 13)}=\sqrt{21×7×6×8}=\sqrt{7056}=84$（平方里）。
综上，$\triangle ABC$的面积是$84$平方里，答案选C。
【答案】：C