17. 请利用直尺和圆规用两种不同的方法作∠O的平分线OC(不写作法,保留作图痕迹).
答案：【解析】：
本题考查了角平分线的作法，有两种常见的方法：
方法一：利用三边对应相等的三角形全等来作角平分线。
以$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OA$、$OB$于两点；
再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；
连接$O$与该交点，这条线就是$\angle AOB$的平分线。
方法二：利用等腰三角形三线合一的性质来作角平分线。
在$OA$、$OB$上分别截取相等的两段$OD$、$OE$；
连接$DE$，作$DE$的垂直平分线交$\angle AOB$于点$C$；
连接$OC$，$OC$就是$\angle AOB$的平分线。
【答案】：
图略（按照上述两种方法的描述，使用直尺和圆规作出$\angle AOB$的平分线$OC$，保留作图痕迹即可）。
本题考查了角平分线的作法，有两种常见的方法：
方法一：利用三边对应相等的三角形全等来作角平分线。
以$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OA$、$OB$于两点；
再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；
连接$O$与该交点，这条线就是$\angle AOB$的平分线。
方法二：利用等腰三角形三线合一的性质来作角平分线。
在$OA$、$OB$上分别截取相等的两段$OD$、$OE$；
连接$DE$，作$DE$的垂直平分线交$\angle AOB$于点$C$；
连接$OC$，$OC$就是$\angle AOB$的平分线。
【答案】：
图略（按照上述两种方法的描述，使用直尺和圆规作出$\angle AOB$的平分线$OC$，保留作图痕迹即可）。
18. 如图,在△ABC中,CD⊥BD,垂足为D,且CD= BD.BE平分∠ABC,且BE⊥AC,垂足为E,交CD于点F.
(1) 求证:AE= CE;
(2) 求证:BF= 2CE.
(1) 求证:AE= CE;
(2) 求证:BF= 2CE.
答案：【解析】：
(1) 证明：
∵$BE⊥AC$，
∴$\angle BEA = \angle BEC = 90^\circ$，
在$\triangle BAE$和$\triangle BCE$中，
$\angle ABE = \angle CBE$（$BE$平分$\angle ABC$），
$BE = BE$（公共边），
$\angle BEA = \angle BEC$，
∴$\triangle BAE \cong \triangle BCE$（$ASA$），
∴$AE = CE$。
(2) 证明：
∵$CD \perp AB$，$BE \perp AC$，
∴$\angle CDA = \angle BDA = \angle BEA = 90^\circ$，
∴$\angle ACD + \angle CAD = 90^\circ$，$\angle ABE + \angle CAD = 90^\circ$，
∴$\angle ACD = \angle ABE$，
在$\triangle BDF$和$\triangle CDA$中，
$\angle BDF = \angle CDA$，
$BD = CD$，
$\angle ACD = \angle ABE$，
∴$\triangle BDF \cong \triangle CDA$（$ASA$），
∴$BF = AC$，
∵$AE = CE$，
∴$AC = 2CE$，
∴$BF = 2CE$。
【答案】：
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析。
(1) 证明：
∵$BE⊥AC$，
∴$\angle BEA = \angle BEC = 90^\circ$，
在$\triangle BAE$和$\triangle BCE$中，
$\angle ABE = \angle CBE$（$BE$平分$\angle ABC$），
$BE = BE$（公共边），
$\angle BEA = \angle BEC$，
∴$\triangle BAE \cong \triangle BCE$（$ASA$），
∴$AE = CE$。
(2) 证明：
∵$CD \perp AB$，$BE \perp AC$，
∴$\angle CDA = \angle BDA = \angle BEA = 90^\circ$，
∴$\angle ACD + \angle CAD = 90^\circ$，$\angle ABE + \angle CAD = 90^\circ$，
∴$\angle ACD = \angle ABE$，
在$\triangle BDF$和$\triangle CDA$中，
$\angle BDF = \angle CDA$，
$BD = CD$，
$\angle ACD = \angle ABE$，
∴$\triangle BDF \cong \triangle CDA$（$ASA$），
∴$BF = AC$，
∵$AE = CE$，
∴$AC = 2CE$，
∴$BF = 2CE$。
【答案】：
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析。
19. 如图,在△ABC中,AD为中线.求证:AB+AC＞2AD.
答案：【解析】：
本题可根据三角形三边关系，通过延长$AD$构造全等三角形，将$AB$、$AC$、$AD$转化到同一个三角形中，进而证明$AB + AC\gt 2AD$。
步骤一：延长$AD$至点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDA$中：
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDE = \angle CDA\\DE = DA\end{cases}$
根据“边角边”（$SAS$）判定定理，可得$\triangle BDE\cong\triangle CDA$。
步骤二：根据全等三角形的性质得到$BE$与$AC$的关系。
由$\triangle BDE\cong\triangle CDA$，根据全等三角形的对应边相等，可得$BE = AC$。
步骤三：在$\triangle ABE$中利用三角形三边关系得到$AB + BE\gt AE$。
因为$AE = AD + DE$，且$DE = AD$，所以$AE = 2AD$。
又因为$BE = AC$，所以$AB + AC = AB + BE$。
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，在$\triangle ABE$中，$AB + BE\gt AE$，即$AB + AC\gt 2AD$。
【答案】：
证明：延长$AD$至点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
$\because AD$是$\triangle ABC$的中线，
$\therefore BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDA$中，
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDE = \angle CDA\\DE = DA\end{cases}$
$\therefore \triangle BDE\cong\triangle CDA(SAS)$。
$\therefore BE = AC$。
在$\triangle ABE$中，$AB + BE\gt AE$。
$\because AE = AD + DE = 2AD$，$BE = AC$，
$\therefore AB + AC\gt 2AD$。
本题可根据三角形三边关系，通过延长$AD$构造全等三角形，将$AB$、$AC$、$AD$转化到同一个三角形中，进而证明$AB + AC\gt 2AD$。
步骤一：延长$AD$至点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDA$中：
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDE = \angle CDA\\DE = DA\end{cases}$
根据“边角边”（$SAS$）判定定理，可得$\triangle BDE\cong\triangle CDA$。
步骤二：根据全等三角形的性质得到$BE$与$AC$的关系。
由$\triangle BDE\cong\triangle CDA$，根据全等三角形的对应边相等，可得$BE = AC$。
步骤三：在$\triangle ABE$中利用三角形三边关系得到$AB + BE\gt AE$。
因为$AE = AD + DE$，且$DE = AD$，所以$AE = 2AD$。
又因为$BE = AC$，所以$AB + AC = AB + BE$。
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，在$\triangle ABE$中，$AB + BE\gt AE$，即$AB + AC\gt 2AD$。
【答案】：
证明：延长$AD$至点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
$\because AD$是$\triangle ABC$的中线，
$\therefore BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDA$中，
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDE = \angle CDA\\DE = DA\end{cases}$
$\therefore \triangle BDE\cong\triangle CDA(SAS)$。
$\therefore BE = AC$。
在$\triangle ABE$中，$AB + BE\gt AE$。
$\because AE = AD + DE = 2AD$，$BE = AC$，
$\therefore AB + AC\gt 2AD$。
如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.小莉说:当AB+BD= AC+CD时,△ABC是等腰三角形.她的说法正确吗?如正确,请证明;如不正确,请举反例说明.
答案：【解析】：
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，通过给定的条件$AB+BD=AC+CD$，结合垂直关系，利用勾股定理将$AB$，$AC$用$BD$，$CD$及$AD$表示出来，然后通过等式变形和化简，推导出$BD=CD$，进而证明$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
【答案】：
解：小莉的说法正确，
证明：
∵$AD\bot BC$，
∴$\angle ADB=\angle ADC=90^{\circ}$，
在$Rt\bigtriangleup ABD$和$Rt\bigtriangleup ACD$中，
根据勾股定理可得$AB^{2}-BD^{2}=AD^{2}$，$AC^{2}-CD^{2}=AD^{2}$，
∴$AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，即$AB^{2}-AC^{2}=BD^{2}-CD^{2}$，
∵$AB+BD=AC+CD$，
∴$AB-AC=BD-CD$，
∵$AB^{2}-AC^{2}=(AB+AC)(AB-AC)$，$BD^{2}-CD^{2}=(BD+CD)(BD-CD)$，
∴$(AB+AC)(AB-AC)=(BD+CD)(BD-CD)$，
∴$\frac{AB-AC}{AB+AC}=\frac{BD-CD}{BD+CD}$，
又∵$AB-AC=BD-CD$，
∴$AB+AC=BD+CD$，
联立$\begin{cases}AB+BD=AC+CD,\\AB+AC=BD+CD.\end{cases}$
两式相减得：$BD-AC=AC-BD$，
移项可得$2BD=2AC$，即$BD=CD$，
∵$AD\bot BC$，$BD=CD$，
∴$AD$是$BC$的垂直平分线，
根据等腰三角形三线合一的性质可知$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，通过给定的条件$AB+BD=AC+CD$，结合垂直关系，利用勾股定理将$AB$，$AC$用$BD$，$CD$及$AD$表示出来，然后通过等式变形和化简，推导出$BD=CD$，进而证明$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
【答案】：
解：小莉的说法正确，
证明：
∵$AD\bot BC$，
∴$\angle ADB=\angle ADC=90^{\circ}$，
在$Rt\bigtriangleup ABD$和$Rt\bigtriangleup ACD$中，
根据勾股定理可得$AB^{2}-BD^{2}=AD^{2}$，$AC^{2}-CD^{2}=AD^{2}$，
∴$AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，即$AB^{2}-AC^{2}=BD^{2}-CD^{2}$，
∵$AB+BD=AC+CD$，
∴$AB-AC=BD-CD$，
∵$AB^{2}-AC^{2}=(AB+AC)(AB-AC)$，$BD^{2}-CD^{2}=(BD+CD)(BD-CD)$，
∴$(AB+AC)(AB-AC)=(BD+CD)(BD-CD)$，
∴$\frac{AB-AC}{AB+AC}=\frac{BD-CD}{BD+CD}$，
又∵$AB-AC=BD-CD$，
∴$AB+AC=BD+CD$，
联立$\begin{cases}AB+BD=AC+CD,\\AB+AC=BD+CD.\end{cases}$
两式相减得：$BD-AC=AC-BD$，
移项可得$2BD=2AC$，即$BD=CD$，
∵$AD\bot BC$，$BD=CD$，
∴$AD$是$BC$的垂直平分线，
根据等腰三角形三线合一的性质可知$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。