【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①,利用此图,可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考,不难发现：
大正方形的面积= 小正方形的面积+4个直角三角形的面积,
从而得数学等式：
化简证得勾股定理$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.
【初步运用】
(1)如图①,若$b= 2a$,则小正方形面积：大正方形面积=
(2)现将图①中上方的两直角三角形向内折叠,如图②,若$a= 4$,$b= 6$,此时空白部分的面积为
【迁移运用】
如果用三张含$60^{\circ}$的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问,小丽拼出如图③所示的等边三角形.你能否仿照勾股定理的验证,发现含$60^{\circ}$的三角形三边a,b,c之间的关系,写出此等量关系式及其推导过程.
【知识补充】如图④,含$60^{\circ}$的直角三角形,有对边y：斜边x= 定值k.
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①,利用此图,可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考,不难发现：
大正方形的面积= 小正方形的面积+4个直角三角形的面积,
从而得数学等式：
$(a+b)^2=c^2+4×\frac{1}{2}ab$
；(用含字母a,b,c的式子表示)化简证得勾股定理$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.
【初步运用】
(1)如图①,若$b= 2a$,则小正方形面积：大正方形面积=
$1:5$
；(2)现将图①中上方的两直角三角形向内折叠,如图②,若$a= 4$,$b= 6$,此时空白部分的面积为
$28$
.【迁移运用】
如果用三张含$60^{\circ}$的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问,小丽拼出如图③所示的等边三角形.你能否仿照勾股定理的验证,发现含$60^{\circ}$的三角形三边a,b,c之间的关系,写出此等量关系式及其推导过程.
关系式：$a^2+b^2-ab=c^2$
推导：大等边三角形面积$=\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2$，3个含$60^\circ$三角形面积和$=3×\frac{\sqrt{3}}{4}ab$，小等边三角形面积$=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$。由大等边三角形面积$=3$个含$60^\circ$三角形面积和$+$小等边三角形面积，得$\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2=3×\frac{\sqrt{3}}{4}ab+\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，化简得$a^2+b^2-ab=c^2$。
推导：大等边三角形面积$=\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2$，3个含$60^\circ$三角形面积和$=3×\frac{\sqrt{3}}{4}ab$，小等边三角形面积$=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$。由大等边三角形面积$=3$个含$60^\circ$三角形面积和$+$小等边三角形面积，得$\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2=3×\frac{\sqrt{3}}{4}ab+\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，化简得$a^2+b^2-ab=c^2$。
【知识补充】如图④,含$60^{\circ}$的直角三角形,有对边y：斜边x= 定值k.
答案：【探索新知】$(a+b)^2=c^2+4×\frac{1}{2}ab$
【初步运用】
(1) $1:5$
(2) $28$
【迁移运用】
关系式：$a^2+b^2-ab=c^2$
推导：大等边三角形面积$=\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2$，3个含$60^\circ$三角形面积和$=3×\frac{\sqrt{3}}{4}ab$，小等边三角形面积$=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$。由大等边三角形面积$=3$个含$60^\circ$三角形面积和$+$小等边三角形面积，得$\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2=3×\frac{\sqrt{3}}{4}ab+\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，化简得$a^2+b^2-ab=c^2$。
【初步运用】
(1) $1:5$
(2) $28$
【迁移运用】
关系式：$a^2+b^2-ab=c^2$
推导：大等边三角形面积$=\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2$，3个含$60^\circ$三角形面积和$=3×\frac{\sqrt{3}}{4}ab$，小等边三角形面积$=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$。由大等边三角形面积$=3$个含$60^\circ$三角形面积和$+$小等边三角形面积，得$\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2=3×\frac{\sqrt{3}}{4}ab+\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，化简得$a^2+b^2-ab=c^2$。