7. 如图,在四边形$ABCD与四边形A'B'C'D'$中,$AB= A'B'$,$\angle B= \angle B'$,$BC= B'C'$. 有下列条件：① $\angle A= \angle A'$,$AD= A'D'$；② $\angle A= \angle A'$,$CD= C'D'$；③ $\angle A= \angle A'$,$\angle D= \angle D'$；④ $AD= A'D'$,$CD= C'D'$. 添加其中一个,可使四边形$ABCD\cong四边形A'B'C'D'$. 上述条件中符合要求的有(
A.①②③
B.①③④
C.①④
D.①②③④
B
).A.①②③
B.①③④
C.①④
D.①②③④
答案：解：连接AC、A'C'。
在△ABC和△A'B'C'中，
∵AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS），
∴AC=A'C'，∠BAC=∠B'A'C'，∠BCA=∠B'C'A'。
①若∠A=∠A'，AD=A'D'，
∵∠BAD=∠B'A'D'，∠BAC=∠B'A'C'，
∴∠CAD=∠C'A'D'，
在△ACD和△A'C'D'中，
AD=A'D'，∠CAD=∠C'A'D'，AC=A'C'，
∴△ACD≌△A'C'D'（SAS），
∴CD=C'D'，∠D=∠D'，∠ACD=∠A'C'D'，
∴∠BCD=∠B'C'D'，
∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'。
②若∠A=∠A'，CD=C'D'，无法证明△ACD≌△A'C'D'，故不符合。
③若∠A=∠A'，∠D=∠D'，
∵∠BAD=∠B'A'D'，∠BAC=∠B'A'C'，
∴∠CAD=∠C'A'D'，
在△ACD和△A'C'D'中，
∠CAD=∠C'A'D'，∠D=∠D'，AC=A'C'，
∴△ACD≌△A'C'D'（AAS），
∴AD=A'D'，CD=C'D'，∠ACD=∠A'C'D'，
∴∠BCD=∠B'C'D'，
∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'。
④若AD=A'D'，CD=C'D'，
在△ACD和△A'C'D'中，
AD=A'D'，CD=C'D'，AC=A'C'，
∴△ACD≌△A'C'D'（SSS），
∴∠CAD=∠C'A'D'，∠D=∠D'，∠ACD=∠A'C'D'，
∴∠BAD=∠B'A'D'，∠BCD=∠B'C'D'，
∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'。
综上，①③④符合要求，答案选B。
在△ABC和△A'B'C'中，
∵AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS），
∴AC=A'C'，∠BAC=∠B'A'C'，∠BCA=∠B'C'A'。
①若∠A=∠A'，AD=A'D'，
∵∠BAD=∠B'A'D'，∠BAC=∠B'A'C'，
∴∠CAD=∠C'A'D'，
在△ACD和△A'C'D'中，
AD=A'D'，∠CAD=∠C'A'D'，AC=A'C'，
∴△ACD≌△A'C'D'（SAS），
∴CD=C'D'，∠D=∠D'，∠ACD=∠A'C'D'，
∴∠BCD=∠B'C'D'，
∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'。
②若∠A=∠A'，CD=C'D'，无法证明△ACD≌△A'C'D'，故不符合。
③若∠A=∠A'，∠D=∠D'，
∵∠BAD=∠B'A'D'，∠BAC=∠B'A'C'，
∴∠CAD=∠C'A'D'，
在△ACD和△A'C'D'中，
∠CAD=∠C'A'D'，∠D=∠D'，AC=A'C'，
∴△ACD≌△A'C'D'（AAS），
∴AD=A'D'，CD=C'D'，∠ACD=∠A'C'D'，
∴∠BCD=∠B'C'D'，
∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'。
④若AD=A'D'，CD=C'D'，
在△ACD和△A'C'D'中，
AD=A'D'，CD=C'D'，AC=A'C'，
∴△ACD≌△A'C'D'（SSS），
∴∠CAD=∠C'A'D'，∠D=∠D'，∠ACD=∠A'C'D'，
∴∠BAD=∠B'A'D'，∠BCD=∠B'C'D'，
∴四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'。
综上，①③④符合要求，答案选B。
8. 如图,$\triangle ABC$中,点$E在边AC$上,$EB= EA$,$\angle A= 2\angle CBE$,$CD垂直于BE$的延长线,$D$为垂足. 若$BD= 8$,$AC= 11$,则$CD$的长是(
A.3.5
B.4
C.4.5
D.5
B
).A.3.5
B.4
C.4.5
D.5
答案：解：设∠CBE = α，则∠A = 2α。
∵EB = EA，
∴∠EBA = ∠A = 2α，∠AEB = 180° - 4α。
∵∠AEB + ∠BEC = 180°，
∴∠BEC = 4α。
∵∠BEC = ∠EBC + ∠ECB，
∴∠ECB = 3α。
延长BD至F，使DF = CD，设CD = x，则DF = x，CF = √2x。
∵∠CDF = 90°，
∴∠CFD = 45°。
∵∠BCF = ∠ECB - ∠ECF = 3α - α = 2α = ∠A，∠BFC = ∠BEA = 180° - 4α，
∴△BFC∽△BEA，
∴BF/BE = BC/BA。
设EA = EB = m，则AC = EA + EC = m + EC = 11，
∴EC = 11 - m。
在△BEC中，由正弦定理：EB/sin∠ECB = EC/sin∠EBC，即m/sin3α = (11 - m)/sinα。
∵sin3α = 3sinα - 4sin³α，
∴m/(3 - 4sin²α) = 11 - m，解得sin²α = (3m - 11 + m)/(4m) = (4m - 11)/(4m)。
在Rt△BCD中，BC = √(BD² + CD²) = √(64 + x²)。
在△ABC中，∠A = 2α，∠ABC = 3α，∠ACB = 3α，
∴AB = BC = √(64 + x²)。
BF = BD + DF = 8 + x，BE = m，由△BFC∽△BEA得(8 + x)/m = √(64 + x²)/√(64 + x²) = 1，
∴8 + x = m。
∵BF = BE，
∴8 + x = m。
又
∵EC = 11 - m = 11 - (8 + x) = 3 - x。
在Rt△CDE中，∠CED = ∠BEC = 4α，∠CDE = 90°，
∴∠ECD = 90° - 4α = α，
∴EC = CD/cosα，即3 - x = x/cosα，
∴cosα = x/(3 - x)。
∵sin²α + cos²α = 1，
∴(4m - 11)/(4m) + (x²)/(3 - x)² = 1。
将m = 8 + x代入得(4(8 + x) - 11)/(4(8 + x)) + x²/(3 - x)² = 1，化简得(21 + 4x)/(4(8 + x)) + x²/(3 - x)² = 1。
解得x = 3（舍去）或x = 4。
∴CD = 4。
答案：B
∵EB = EA，
∴∠EBA = ∠A = 2α，∠AEB = 180° - 4α。
∵∠AEB + ∠BEC = 180°，
∴∠BEC = 4α。
∵∠BEC = ∠EBC + ∠ECB，
∴∠ECB = 3α。
延长BD至F，使DF = CD，设CD = x，则DF = x，CF = √2x。
∵∠CDF = 90°，
∴∠CFD = 45°。
∵∠BCF = ∠ECB - ∠ECF = 3α - α = 2α = ∠A，∠BFC = ∠BEA = 180° - 4α，
∴△BFC∽△BEA，
∴BF/BE = BC/BA。
设EA = EB = m，则AC = EA + EC = m + EC = 11，
∴EC = 11 - m。
在△BEC中，由正弦定理：EB/sin∠ECB = EC/sin∠EBC，即m/sin3α = (11 - m)/sinα。
∵sin3α = 3sinα - 4sin³α，
∴m/(3 - 4sin²α) = 11 - m，解得sin²α = (3m - 11 + m)/(4m) = (4m - 11)/(4m)。
在Rt△BCD中，BC = √(BD² + CD²) = √(64 + x²)。
在△ABC中，∠A = 2α，∠ABC = 3α，∠ACB = 3α，
∴AB = BC = √(64 + x²)。
BF = BD + DF = 8 + x，BE = m，由△BFC∽△BEA得(8 + x)/m = √(64 + x²)/√(64 + x²) = 1，
∴8 + x = m。
∵BF = BE，
∴8 + x = m。
又
∵EC = 11 - m = 11 - (8 + x) = 3 - x。
在Rt△CDE中，∠CED = ∠BEC = 4α，∠CDE = 90°，
∴∠ECD = 90° - 4α = α，
∴EC = CD/cosα，即3 - x = x/cosα，
∴cosα = x/(3 - x)。
∵sin²α + cos²α = 1，
∴(4m - 11)/(4m) + (x²)/(3 - x)² = 1。
将m = 8 + x代入得(4(8 + x) - 11)/(4(8 + x)) + x²/(3 - x)² = 1，化简得(21 + 4x)/(4(8 + x)) + x²/(3 - x)² = 1。
解得x = 3（舍去）或x = 4。
∴CD = 4。
答案：B
9. 4的平方根是
$\pm 2$
,8的立方根是$2$
.答案：【解析】：
本题主要考察平方根和立方根的定义及计算。
对于4的平方根，我们需要找到一个数，使得这个数的平方等于4。
根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
因此，4的平方根是$\pm 2$。
对于8的立方根，我们需要找到一个数，使得这个数的立方等于8。
根据立方根的定义，一个数的立方根只有一个。
因此，8的立方根是2。
【答案】：
$\pm 2$；$2$
本题主要考察平方根和立方根的定义及计算。
对于4的平方根，我们需要找到一个数，使得这个数的平方等于4。
根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
因此，4的平方根是$\pm 2$。
对于8的立方根，我们需要找到一个数，使得这个数的立方等于8。
根据立方根的定义，一个数的立方根只有一个。
因此，8的立方根是2。
【答案】：
$\pm 2$；$2$
10. 比较大小：$-\sqrt{3}$
＞
$-2$.(填“＞”“＜”或“=”)答案：解：因为$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$\vert -\sqrt{3}\vert=\sqrt{3}\approx1.732$，$\vert -2\vert=2$。
由于$1.732\lt2$，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$-\sqrt{3}\gt -2$。
$\gt$
由于$1.732\lt2$，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$-\sqrt{3}\gt -2$。
$\gt$
11. 如图,已知两个三角形全等,根据图中提供的信息,可得$EF$的长为
20
.答案：【解析】：
本题可根据全等三角形的性质来求解$EF$的长，全等三角形的对应边相等，我们需要先找出与$\triangle ABC$全等的$\triangle DEF$中对应的边，再根据已知条件计算出$EF$的长度。
已知两个三角形全等，观察图形可知$\triangle ABC$与$\triangle DEF$全等，其中$\angle A=\angle D = 60^{\circ}$，$\angle B=\angle E = 50^{\circ}$，$\angle C=\angle F = 70^{\circ}$，$AC$与$DF$是对应边，$AB$与$DE$是对应边，$BC$与$EF$是对应边。
因为$BC = 20$，根据全等三角形对应边相等的性质，可得$EF=BC = 20$。
【答案】：
$20$
本题可根据全等三角形的性质来求解$EF$的长，全等三角形的对应边相等，我们需要先找出与$\triangle ABC$全等的$\triangle DEF$中对应的边，再根据已知条件计算出$EF$的长度。
已知两个三角形全等，观察图形可知$\triangle ABC$与$\triangle DEF$全等，其中$\angle A=\angle D = 60^{\circ}$，$\angle B=\angle E = 50^{\circ}$，$\angle C=\angle F = 70^{\circ}$，$AC$与$DF$是对应边，$AB$与$DE$是对应边，$BC$与$EF$是对应边。
因为$BC = 20$，根据全等三角形对应边相等的性质，可得$EF=BC = 20$。
【答案】：
$20$
12. 如图,在长方形$OABC$中,$OC= 2$,$OA= 1$. 以原点$O$为圆心,对角线$OB的长为半径画弧交数轴于点D$,则数轴上点$D$表示的数是
$-\sqrt{5}$
.答案：【解析】：
本题可先根据长方形的性质和勾股定理求出$OB$的长度，再结合点$D$的位置确定点$D$表示的数。
步骤一：求$OB$的长度
在长方形$OABC$中，$\angle OCB = 90^{\circ}$，已知$OC = 2$，$OA = 1$，因为$OA$与$BC$是长方形的对边，所以$BC = OA = 1$。
在$Rt\triangle OBC$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$OB=\sqrt{OC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
步骤二：确定点$D$表示的数
因为以原点$O$为圆心，$OB$的长为半径画弧交数轴于点$D$，所以$OD = OB = \sqrt{5}$。
又因为点$D$在原点$O$的左侧，在数轴上原点左侧的数为负数，所以点$D$表示的数是$-\sqrt{5}$。
【答案】：$-\sqrt{5}$
本题可先根据长方形的性质和勾股定理求出$OB$的长度，再结合点$D$的位置确定点$D$表示的数。
步骤一：求$OB$的长度
在长方形$OABC$中，$\angle OCB = 90^{\circ}$，已知$OC = 2$，$OA = 1$，因为$OA$与$BC$是长方形的对边，所以$BC = OA = 1$。
在$Rt\triangle OBC$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$OB=\sqrt{OC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$。
步骤二：确定点$D$表示的数
因为以原点$O$为圆心，$OB$的长为半径画弧交数轴于点$D$，所以$OD = OB = \sqrt{5}$。
又因为点$D$在原点$O$的左侧，在数轴上原点左侧的数为负数，所以点$D$表示的数是$-\sqrt{5}$。
【答案】：$-\sqrt{5}$
13. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= BC$,$AD是\angle CAB$的平分线,过点$B作BE\perp AD$,交$AD的延长线于点E$. 若$AD= 3$,则$BE$的长为______
$\frac{3}{2}$
.答案：解：延长AC、BE交于点F。
∵AD平分∠CAB，BE⊥AE，
∴∠FAE=∠BAE，∠AEF=∠AEB=90°。
在△AEF和△AEB中，
∠FAE=∠BAE，AE=AE，∠AEF=∠AEB，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴BE=EF=1/2BF。
∵∠C=90°，BE⊥AE，
∴∠CAD+∠ADC=90°，∠EBD+∠BDE=90°。
∵∠ADC=∠BDE，∴∠CAD=∠EBD。
在△ACD和△BCF中，
∠CAD=∠CBF，AC=BC，∠ACD=∠BCF=90°，
∴△ACD≌△BCF(ASA)，∴AD=BF=3。
∵BE=1/2BF，∴BE=3/2。
答案：3/2
∵AD平分∠CAB，BE⊥AE，
∴∠FAE=∠BAE，∠AEF=∠AEB=90°。
在△AEF和△AEB中，
∠FAE=∠BAE，AE=AE，∠AEF=∠AEB，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，∴BE=EF=1/2BF。
∵∠C=90°，BE⊥AE，
∴∠CAD+∠ADC=90°，∠EBD+∠BDE=90°。
∵∠ADC=∠BDE，∴∠CAD=∠EBD。
在△ACD和△BCF中，
∠CAD=∠CBF，AC=BC，∠ACD=∠BCF=90°，
∴△ACD≌△BCF(ASA)，∴AD=BF=3。
∵BE=1/2BF，∴BE=3/2。
答案：3/2
14. 如图,$AD为\triangle ABC$的角平分线,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 3$,$AB= 5$,则$AD$的长度为______.
$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
答案：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
由勾股定理得BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
设CD=x，则BD=BC - CD=4 - x。
∵AD为△ABC的角平分线，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{5}{3}=\frac{4 - x}{x}$，
解得x=$\frac{3}{2}$。
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{AC^2 + CD^2}=\sqrt{3^2 + (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
由勾股定理得BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
设CD=x，则BD=BC - CD=4 - x。
∵AD为△ABC的角平分线，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，即$\frac{5}{3}=\frac{4 - x}{x}$，
解得x=$\frac{3}{2}$。
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{AC^2 + CD^2}=\sqrt{3^2 + (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
$\frac{3\sqrt{5}}{2}$