22. 给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形.
(1)用你学过的特殊四边形知识,写出两种勾股四边形的名称.
(2)如图,将$\triangle ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60^{\circ}后得到\triangle DBE$,连接$AD$,$DC$,$CE$,已知$\angle DCB= 30^{\circ}$.
① 求证：$\triangle BCE$是等边三角形.
② 求证：$DC^{2}+BC^{2}= AC^{2}$(即四边形$ABCD$是勾股四边形).
(1)用你学过的特殊四边形知识,写出两种勾股四边形的名称.
(2)如图,将$\triangle ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60^{\circ}后得到\triangle DBE$,连接$AD$,$DC$,$CE$,已知$\angle DCB= 30^{\circ}$.
① 求证：$\triangle BCE$是等边三角形.
② 求证：$DC^{2}+BC^{2}= AC^{2}$(即四边形$ABCD$是勾股四边形).
答案：(1)矩形、正方形
(2)①证明：∵△ABC绕顶点B顺时针旋转60°得到△DBE，
∴BC=BE，∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形.
②证明：由①知△BCE是等边三角形，
∴CE=BC，∠BCE=60°.
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°.
在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE².
∵△ABC绕顶点B旋转得到△DBE，
∴DE=AC，
又∵CE=BC，
∴DC²+BC²=AC².
(2)①证明：∵△ABC绕顶点B顺时针旋转60°得到△DBE，
∴BC=BE，∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形.
②证明：由①知△BCE是等边三角形，
∴CE=BC，∠BCE=60°.
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°.
在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE².
∵△ABC绕顶点B旋转得到△DBE，
∴DE=AC，
又∵CE=BC，
∴DC²+BC²=AC².
(1)如图①,$AD和A'D'分别是\triangle ABC和\triangle A'B'C'的边BC和边B'C'$上的中线,$AD= A'D'$,$AB= A'B'$,$BC= B'C'$. 求证：$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$.
(2)如图②,$AD和A'D'分别是\triangle ABC和\triangle A'B'C'的边BC和边B'C'$上的中线,$AD= A'D'$,$AB= A'B'$,$AC= A'C'$. 判断$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$是否仍然全等,并说明理由.
(3)类比上述问题的探究过程,下列命题是真命题的是______.(填写相应的序号)
① 两角和第三个角的平分线分别相等的两个三角形全等；
② 一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
③ 斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
④ 两边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；
⑤ 底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等.
证明：∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC=B'C'，
∴BD=B'D'，DC=D'C'。
在△ABD和△A'B'D'中，
AB=A'B'，AD=A'D'，BD=B'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'(SSS)，
∴∠B=∠B'。
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)。
∴BD=B'D'，DC=D'C'。
在△ABD和△A'B'D'中，
AB=A'B'，AD=A'D'，BD=B'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'(SSS)，
∴∠B=∠B'。
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)。
(2)如图②,$AD和A'D'分别是\triangle ABC和\triangle A'B'C'的边BC和边B'C'$上的中线,$AD= A'D'$,$AB= A'B'$,$AC= A'C'$. 判断$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$是否仍然全等,并说明理由.
△ABC≌△A'B'C'。理由如下：
延长AD至点E，使DE=AD，连接BE；延长A'D'至点E'，使D'E'=A'D'，连接B'E'。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC。
在△ADC和△EDB中，
AD=ED，∠ADC=∠EDB，DC=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=EB。
同理可得A'C'=E'B'。
∵AC=A'C'，
∴EB=E'B'。
∵AD=A'D'，
∴AE=A'E'。
在△ABE和△A'B'E'中，
AB=A'B'，BE=B'E'，AE=A'E'，
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)，
∴∠BAE=∠B'A'E'，∠E=∠E'。
∵∠E=∠CAD，∠E'=∠C'A'D'，
∴∠CAD=∠C'A'D'，
∴∠BAC=∠B'A'C'。
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，∠BAC=∠B'A'C'，AC=A'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)。
延长AD至点E，使DE=AD，连接BE；延长A'D'至点E'，使D'E'=A'D'，连接B'E'。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC。
在△ADC和△EDB中，
AD=ED，∠ADC=∠EDB，DC=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=EB。
同理可得A'C'=E'B'。
∵AC=A'C'，
∴EB=E'B'。
∵AD=A'D'，
∴AE=A'E'。
在△ABE和△A'B'E'中，
AB=A'B'，BE=B'E'，AE=A'E'，
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)，
∴∠BAE=∠B'A'E'，∠E=∠E'。
∵∠E=∠CAD，∠E'=∠C'A'D'，
∴∠CAD=∠C'A'D'，
∴∠BAC=∠B'A'C'。
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，∠BAC=∠B'A'C'，AC=A'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)。
(3)类比上述问题的探究过程,下列命题是真命题的是______.(填写相应的序号)
① 两角和第三个角的平分线分别相等的两个三角形全等；
② 一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
③ 斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
④ 两边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；
⑤ 底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等.
①③⑤
答案：(1)证明：∵AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC=B'C'，
∴BD=B'D'，DC=D'C'。
在△ABD和△A'B'D'中，
AB=A'B'，AD=A'D'，BD=B'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'(SSS)，
∴∠B=∠B'。
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)。
(2)△ABC≌△A'B'C'。理由如下：
延长AD至点E，使DE=AD，连接BE；延长A'D'至点E'，使D'E'=A'D'，连接B'E'。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC。
在△ADC和△EDB中，
AD=ED，∠ADC=∠EDB，DC=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=EB。
同理可得A'C'=E'B'。
∵AC=A'C'，
∴EB=E'B'。
∵AD=A'D'，
∴AE=A'E'。
在△ABE和△A'B'E'中，
AB=A'B'，BE=B'E'，AE=A'E'，
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)，
∴∠BAE=∠B'A'E'，∠E=∠E'。
∵∠E=∠CAD，∠E'=∠C'A'D'，
∴∠CAD=∠C'A'D'，
∴∠BAC=∠B'A'C'。
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，∠BAC=∠B'A'C'，AC=A'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)。
(3)①③⑤
∴BD=B'D'，DC=D'C'。
在△ABD和△A'B'D'中，
AB=A'B'，AD=A'D'，BD=B'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'(SSS)，
∴∠B=∠B'。
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)。
(2)△ABC≌△A'B'C'。理由如下：
延长AD至点E，使DE=AD，连接BE；延长A'D'至点E'，使D'E'=A'D'，连接B'E'。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC。
在△ADC和△EDB中，
AD=ED，∠ADC=∠EDB，DC=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=EB。
同理可得A'C'=E'B'。
∵AC=A'C'，
∴EB=E'B'。
∵AD=A'D'，
∴AE=A'E'。
在△ABE和△A'B'E'中，
AB=A'B'，BE=B'E'，AE=A'E'，
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS)，
∴∠BAE=∠B'A'E'，∠E=∠E'。
∵∠E=∠CAD，∠E'=∠C'A'D'，
∴∠CAD=∠C'A'D'，
∴∠BAC=∠B'A'C'。
在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，∠BAC=∠B'A'C'，AC=A'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)。
(3)①③⑤