如图,$A$,$O$,$B$三点在同一条直线上,$\angle BOD与\angle BOC$互补。
(1)若$\angle AOC = 30^{\circ}$,求$\angle BOD$的度数；
(2)已知$OM平分\angle AOC$,若射线$ON在\angle COD$的内部,且满足$\angle AOC与\angle MON$互余,试探究$\angle MON与\angle DON$之间有怎样的数量关系,请写出结论并说明理由。
(1)若$\angle AOC = 30^{\circ}$,求$\angle BOD$的度数；
(2)已知$OM平分\angle AOC$,若射线$ON在\angle COD$的内部,且满足$\angle AOC与\angle MON$互余,试探究$\angle MON与\angle DON$之间有怎样的数量关系,请写出结论并说明理由。
答案：（1）∠BOD = 30°. （2）∠MON与∠DON之间的数量关系为2∠DON - ∠MON = 90°，理由略.
解析：
(1)
∵A，O，B三点共线，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°-30°=150°，
∵∠BOD与∠BOC互补，
∴∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=180°-150°=30°.
(2)
设∠AOC=2α，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠MOC=α，
∵∠AOC与∠MON互余，
∴∠MON=90°-∠AOC=90°-2α，
∵∠AOC+∠BOC=180°，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=∠AOC=2α，
∵∠COD=∠AOB-∠AOC-∠BOD=180°-2α-2α=180°-4α，
∵ON在∠COD内部，
∴∠CON=∠COD-∠DON=180°-4α-∠DON，
∵∠MON=∠MOC+∠CON，
∴90°-2α=α+(180°-4α-∠DON)，
整理得∠DON=90°-α，
∴α=90°-∠DON，
∵∠MON=90°-2α=90°-2(90°-∠DON)=2∠DON-90°，
∴2∠DON-∠MON=90°.
1. 如图,在图中确定$A$,$B$,$C$,$D$的位置：
(1)$A在O$的正北方向,距$O点2cm$；
(2)$B在O的北偏东60^{\circ}$方向,距$O点3cm$；
(3)$C在O$的东南方向,距$O点1.5cm$；
(4)$D在O的南偏西40^{\circ}$方向,距$O点2cm$。
(1)$A在O$的正北方向,距$O点2cm$；
(2)$B在O的北偏东60^{\circ}$方向,距$O点3cm$；
(3)$C在O$的东南方向,距$O点1.5cm$；
(4)$D在O的南偏西40^{\circ}$方向,距$O点2cm$。
答案：1. 以点$O$为中心：
(1)在点$O$正上方（正北方向）取$2cm$长度，确定点$A$；
(2)从点$O$沿北偏东$60^{\circ}$方向取$3cm$长度，确定点$B$；
(3)从点$O$沿东南方向（即南偏东$45^{\circ}$）取$1.5cm$长度，确定点$C$；
(4)从点$O$沿南偏西$40^{\circ}$方向取$2cm$长度，确定点$D$。
（通常在答题时根据上述描述在给定图中准确画出各点位置即可，由于这里是文字表述，实际答题需按要求在图上标注）。
(1)在点$O$正上方（正北方向）取$2cm$长度，确定点$A$；
(2)从点$O$沿北偏东$60^{\circ}$方向取$3cm$长度，确定点$B$；
(3)从点$O$沿东南方向（即南偏东$45^{\circ}$）取$1.5cm$长度，确定点$C$；
(4)从点$O$沿南偏西$40^{\circ}$方向取$2cm$长度，确定点$D$。
（通常在答题时根据上述描述在给定图中准确画出各点位置即可，由于这里是文字表述，实际答题需按要求在图上标注）。
2. 如图,说出图中各射线表示的方向。
射线$OA$：
射线$OA$：
北偏东45°（或东北方向）
；射线$OB$：北偏西70°
；射线$OC$：南偏西30°
。答案：北偏东45°（或东北方向）；北偏西70°；南偏西30°
3. 南偏东$30^{\circ}和北偏西70^{\circ}$这两条射线的夹角等于
140
$^{\circ}$。答案：140
解析：
南偏东$30^{\circ}$与正南方向夹角为$30^{\circ}$，北偏西$70^{\circ}$与正北方向夹角为$70^{\circ}$。正南与正北方向夹角为$180^{\circ}$，所以两条射线夹角为$180^{\circ}-30^{\circ}-70^{\circ}=80^{\circ}$？不对，应该是另一个方向的夹角。北偏西$70^{\circ}$即西偏北$20^{\circ}$，南偏东$30^{\circ}$即东偏南$60^{\circ}$，东西方向夹角$180^{\circ}$，南北方向夹角$180^{\circ}$，所以夹角为$70^{\circ}+30^{\circ}+(90^{\circ}-70^{\circ})+(90^{\circ}-30^{\circ})$？不对，正确做法是：南偏东$30^{\circ}$的射线与正东方向夹角$60^{\circ}$，北偏西$70^{\circ}$的射线与正西方向夹角$20^{\circ}$，正东与正西夹角$180^{\circ}$，所以总夹角为$60^{\circ}+180^{\circ}-20^{\circ}=220^{\circ}$，但夹角取小于$180^{\circ}$的，所以$360^{\circ}-220^{\circ}=140^{\circ}$。
$140$
$140$
问题 如图,上午$8$时,小岛$O上的士兵发现海面上A$处有一艘货船正在向正西方向航行,上午$10$时,士兵发现该货船在小岛南偏西$60^{\circ}$的方向上。请你说出上午$8时货船的位置A在小岛O$的什么方向上,并在图中作出上午$10时货船的位置B$。
名师指导
射线$OA可以看作是表示正南方向的射线绕O点向东旋转30^{\circ}$得到的,所以$A在O的南偏东30^{\circ}$的方向上。射线$OB可以由表示正南方向的射线绕O$点向西旋转
$60^{\circ}$得到,$B点是射线OB与以A$为端点表示正西方向的射线的交点。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
射线$OA可以看作是表示正南方向的射线绕O点向东旋转30^{\circ}$得到的,所以$A在O的南偏东30^{\circ}$的方向上。射线$OB可以由表示正南方向的射线绕O$点向西旋转
$60^{\circ}$得到,$B点是射线OB与以A$为端点表示正西方向的射线的交点。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案：解：
1. 上午8时货船的位置$A$在小岛$O$的南偏东$30^{\circ}$方向上。
2. 画图：过点$A$作正西方向射线，以$O$为顶点，作南偏西$60^{\circ}$的射线，与过$A$点的正西方向射线相交于点$B$，点$B$即为上午10时货船的位置。
1. 上午8时货船的位置$A$在小岛$O$的南偏东$30^{\circ}$方向上。
2. 画图：过点$A$作正西方向射线，以$O$为顶点，作南偏西$60^{\circ}$的射线，与过$A$点的正西方向射线相交于点$B$，点$B$即为上午10时货船的位置。