3. 下列计算正确的是(
A.$-(-3)= -3$
B.$|-3|= -3$
C.$(-3)^2= 6$
D.$-3^2= -9$
D
)A.$-(-3)= -3$
B.$|-3|= -3$
C.$(-3)^2= 6$
D.$-3^2= -9$
答案：D
解析：
A.$-(-3)=3$
B.$|-3|=3$
C.$(-3)^2=9$
D.$-3^2=-9$
D
B.$|-3|=3$
C.$(-3)^2=9$
D.$-3^2=-9$
D
4. 设$n$是自然数,则$\frac{(-1)^n+(-1)^{n+2}}{2}$的值为(
A.1或$-1$
B.0
C.$-1$
D.0或1
A
)A.1或$-1$
B.0
C.$-1$
D.0或1
答案：A
解析：
当$n$为偶数时，设$n = 2k$（$k$为自然数），则$(-1)^n = 1$，$(-1)^{n+2}=(-1)^{2k+2}=1$，原式$=\frac{1 + 1}{2}=1$；
当$n$为奇数时，设$n = 2k + 1$（$k$为自然数），则$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+2}=(-1)^{2k+3}=-1$，原式$=\frac{-1 + (-1)}{2}=-1$。
综上，值为$1$或$-1$。
A
当$n$为奇数时，设$n = 2k + 1$（$k$为自然数），则$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+2}=(-1)^{2k+3}=-1$，原式$=\frac{-1 + (-1)}{2}=-1$。
综上，值为$1$或$-1$。
A
5. 算式$2^2+2^2+2^2+2^2$可化为(
A.$2^4$
B.$8^2$
C.$2^8$
D.$2^{16}$
A
)A.$2^4$
B.$8^2$
C.$2^8$
D.$2^{16}$
答案：A
解析：
$2^2+2^2+2^2+2^2=4×2^2=2^2×2^2=2^{2+2}=2^4$，答案选A。
6. 计算：
(1) $(-\frac{4}{5})^2×(-1\frac{1}{4})$；
(2) $-(-2)^2-3÷(-1)^3×(-2)^4$。
(1) $(-\frac{4}{5})^2×(-1\frac{1}{4})$；
(2) $-(-2)^2-3÷(-1)^3×(-2)^4$。
答案：（1）$-\frac{4}{5}$；（2）44.
解析：
(1) $(-\frac{4}{5})^2×(-1\frac{1}{4})$
$=\frac{16}{25}×(-\frac{5}{4})$
$=-\frac{4}{5}$
(2) $-(-2)^2-3÷(-1)^3×(-2)^4$
$=-4 - 3÷(-1)×16$
$=-4 + 3×16$
$=-4 + 48$
$=44$
7. 观察下列各式：
$1= 2^1-1$,
$1+2= 2^2-1$,
$1+2+2^2= 2^3-1$。
猜想：(1)$1+2+2^2+2^3+…+2^{63}= $
(2) 若$n$是正整数,那么$1+2+2^2+2^3+…+2^n= $
$1= 2^1-1$,
$1+2= 2^2-1$,
$1+2+2^2= 2^3-1$。
猜想：(1)$1+2+2^2+2^3+…+2^{63}= $
$2^{64}-1$
；(2) 若$n$是正整数,那么$1+2+2^2+2^3+…+2^n= $
$2^{n+1}-1$
。答案：（1）$2^{64}-1$；（2）$2^{n+1}-1$.
8. 已知下列等式：①$2^2-1^2= 3$；②$3^2-2^2= 5$；③$4^2-3^2= 7…$
(1) 请仔细观察前三个等式的规律,写出第⑥个等式：
(2) 请你找出规律,写出第$n$个等式,并说明等式成立；
第n个式子为$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$；
∵左边=$n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1$=右边，
∴$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$
(3) 利用(2)中发现的规律计算：$1+3+5+7+…+99$。
(1) 请仔细观察前三个等式的规律,写出第⑥个等式：
$7^{2}-6^{2}=13$
；(2) 请你找出规律,写出第$n$个等式,并说明等式成立；
第n个式子为$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$；
∵左边=$n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1$=右边，
∴$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$
(3) 利用(2)中发现的规律计算：$1+3+5+7+…+99$。
由（2）的规律可知，$1+3+5+7+\cdots +99=1+(2^{2}-1^{2})+(3^{2}-2^{2})+(4^{2}-3^{2})+\cdots +(50^{2}-49^{2})=50^{2}=2500$
答案：（1）$7^{2}-6^{2}=13$；（2）第n个式子为$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$；
∵左边=$n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1$=右边，
∴$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$；（3）由（2）的规律可知，$1+3+5+7+\cdots +99=1+(2^{2}-1^{2})+(3^{2}-2^{2})+(4^{2}-3^{2})+\cdots +(50^{2}-49^{2})=50^{2}=2500$.
∵左边=$n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1$=右边，
∴$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$；（3）由（2）的规律可知，$1+3+5+7+\cdots +99=1+(2^{2}-1^{2})+(3^{2}-2^{2})+(4^{2}-3^{2})+\cdots +(50^{2}-49^{2})=50^{2}=2500$.
9. 已知$|x-5|+|y+6|= 0$,求$(x+y)^{2025}$的值。
答案：$x=5,y=-6,(x+y)^{2025}=-1$.
解析：
因为$|x - 5| \geq 0$，$|y + 6| \geq 0$，且$|x - 5| + |y + 6| = 0$，所以$x - 5 = 0$，$y + 6 = 0$，解得$x = 5$，$y = - 6$。则$x + y = 5 + (-6) = -1$，所以$(x + y)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
定义一种对正整数$n$的“$F$”运算：①当$n$为奇数时,结果为$3n+5$；②当$n$为偶数时,结果为$\frac{n}{2^k}$(其中$k是使\frac{n}{2^k}$为奇数的正整数)。运算重复进行。例如,取$n= 26$,则
$\boxed{26}\xrightarrow[第一次]{F②}\boxed{13}\xrightarrow[第二次]{F①}\boxed{44}\xrightarrow[第三次]{F②}\boxed{11}…$
若$n= 449$,则第$449$次“$F$”运算的结果是
$\boxed{26}\xrightarrow[第一次]{F②}\boxed{13}\xrightarrow[第二次]{F①}\boxed{44}\xrightarrow[第三次]{F②}\boxed{11}…$
若$n= 449$,则第$449$次“$F$”运算的结果是
8
。答案：8
解析：
1. 第1次运算：449是奇数，$F①$：$3×449 + 5 = 1352$；
2. 第2次运算：1352是偶数，$F②$：$1352÷2^3 = 169$（$1352=2^3×169$）；
3. 第3次运算：169是奇数，$F①$：$3×169 + 5 = 512$；
4. 第4次运算：512是偶数，$F②$：$512÷2^9 = 1$（$512=2^9$）；
5. 第5次运算：1是奇数，$F①$：$3×1 + 5 = 8$；
6. 第6次运算：8是偶数，$F②$：$8÷2^3 = 1$；
7. 第7次运算：1→8（同第5次）；
8. 第8次运算：8→1（同第6次）；
从第4次起，结果以“1，8”循环，周期为2。第4次对应循环第1项（1），第5次循环第2项（8），...，循环项数$m = 运算次数 - 3$。
第449次：$m = 449 - 3 = 446$，$446$为偶数，对应循环第2项（8）。
2. 第2次运算：1352是偶数，$F②$：$1352÷2^3 = 169$（$1352=2^3×169$）；
3. 第3次运算：169是奇数，$F①$：$3×169 + 5 = 512$；
4. 第4次运算：512是偶数，$F②$：$512÷2^9 = 1$（$512=2^9$）；
5. 第5次运算：1是奇数，$F①$：$3×1 + 5 = 8$；
6. 第6次运算：8是偶数，$F②$：$8÷2^3 = 1$；
7. 第7次运算：1→8（同第5次）；
8. 第8次运算：8→1（同第6次）；
从第4次起，结果以“1，8”循环，周期为2。第4次对应循环第1项（1），第5次循环第2项（8），...，循环项数$m = 运算次数 - 3$。
第449次：$m = 449 - 3 = 446$，$446$为偶数，对应循环第2项（8）。