4. 《九章算术》中有“盈不足术”的问题,原文如下：“今有共买羊,人出五,不足四十五；人出七,不足三,问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊,每人出 5 元,则差 45 元；每人出 7 元,则差 3 元,求人数和羊价各是多少.
答案：人数为21人，羊价为150元
解析：
设人数为$x$人，羊价为$y$元。
根据题意可得方程组：
$\begin{cases}y = 5x + 45 \\y = 7x + 3\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程：
$5x + 45 = 7x + 3$
移项可得：
$45 - 3 = 7x - 5x$
$42 = 2x$
$x = 21$
将$x = 21$代入$y = 5x + 45$：
$y = 5×21 + 45 = 105 + 45 = 150$
人数为21人，羊价为150元。
根据题意可得方程组：
$\begin{cases}y = 5x + 45 \\y = 7x + 3\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程：
$5x + 45 = 7x + 3$
移项可得：
$45 - 3 = 7x - 5x$
$42 = 2x$
$x = 21$
将$x = 21$代入$y = 5x + 45$：
$y = 5×21 + 45 = 105 + 45 = 150$
人数为21人，羊价为150元。
问题 轮船从甲地顺流开往乙地,所用时间比乙地逆流回到甲地少 1.5 小时,已知轮船在静水中速度为每小时 20 千米,水流速度为每小时 2 千米,求甲、乙两地间的距离.
名师指导
轮船顺流航行速度 $ = $ 轮船静水航行速度 $ + $ 水流速度；轮船逆流航行速度 $ = $ 轮船静水航行速度 $ - $ 水流速度,而顺流和逆流航行都满足相应的等量关系式,即路程 $ = $ 速度 $ × $ 时间. 可设甲、乙两地间的距离为 $ x $ 千米,根据顺、逆流时间差是 1.5 小时,建立方程.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
轮船顺流航行速度 $ = $ 轮船静水航行速度 $ + $ 水流速度；轮船逆流航行速度 $ = $ 轮船静水航行速度 $ - $ 水流速度,而顺流和逆流航行都满足相应的等量关系式,即路程 $ = $ 速度 $ × $ 时间. 可设甲、乙两地间的距离为 $ x $ 千米,根据顺、逆流时间差是 1.5 小时,建立方程.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案：设甲、乙两地间的距离为 $x$ 千米。
顺流速度：
轮船在静水中的速度为 $20$ 千米/小时，水流速度为 $2$ 千米/小时，所以顺流速度为 $20 + 2 = 22(km/h)$。
顺流时间：
$t_1 = \frac{x}{22}$，
逆流速度：
轮船逆流时的速度为 $20 - 2 = 18(km/h)$。
逆流时间：
$t_2 = \frac{x}{18}$，
根据题意，顺流时间比逆流时间少 $1.5$ 小时，即：
$t_2 - t_1 = 1.5$，
代入 $t_1$ 和 $t_2$ 的表达式，得：
$\frac{x}{18} - \frac{x}{22} = 1.5$，
解这个方程，首先找公共分母，即 $18 × 22 = 396$，然后合并同类项：
$\frac{22x - 18x}{396} = 1.5$，
$\frac{4x}{396} = 1.5$，
$4x = 594$，
$x = 148.5 × 1（除以1，因为4x=594直接算出x）$（实际应为$x=\frac{594}{4}=148.5$，此处为简化表达）
$x = 148.5(km)$（经过检验，答案正确）。
所以甲、乙两地间的距离为$148.5$ 千米。
顺流速度：
轮船在静水中的速度为 $20$ 千米/小时，水流速度为 $2$ 千米/小时，所以顺流速度为 $20 + 2 = 22(km/h)$。
顺流时间：
$t_1 = \frac{x}{22}$，
逆流速度：
轮船逆流时的速度为 $20 - 2 = 18(km/h)$。
逆流时间：
$t_2 = \frac{x}{18}$，
根据题意，顺流时间比逆流时间少 $1.5$ 小时，即：
$t_2 - t_1 = 1.5$，
代入 $t_1$ 和 $t_2$ 的表达式，得：
$\frac{x}{18} - \frac{x}{22} = 1.5$，
解这个方程，首先找公共分母，即 $18 × 22 = 396$，然后合并同类项：
$\frac{22x - 18x}{396} = 1.5$，
$\frac{4x}{396} = 1.5$，
$4x = 594$，
$x = 148.5 × 1（除以1，因为4x=594直接算出x）$（实际应为$x=\frac{594}{4}=148.5$，此处为简化表达）
$x = 148.5(km)$（经过检验，答案正确）。
所以甲、乙两地间的距离为$148.5$ 千米。
1. 整理一批文件,由 1 个人做要 52 h 完成,现在计划由一部分人先做 4 h,再增加 2 人和他们一起做 8 h 完成这项工作,假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作？
答案：3人
解析：
解：设具体应先安排$x$人工作。
每人每小时的工作效率为$\frac{1}{52}$。
根据题意，得：
$4x×\frac{1}{52}+8(x + 2)×\frac{1}{52}=1$
方程两边同乘52，得：
$4x + 8(x + 2)=52$
$4x + 8x + 16=52$
$12x=36$
$x=3$
答：具体应先安排3人工作。
每人每小时的工作效率为$\frac{1}{52}$。
根据题意，得：
$4x×\frac{1}{52}+8(x + 2)×\frac{1}{52}=1$
方程两边同乘52，得：
$4x + 8(x + 2)=52$
$4x + 8x + 16=52$
$12x=36$
$x=3$
答：具体应先安排3人工作。
2. 用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身 15 个,或盒底 40 个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒. 现有 280 张白铁皮,用多少张制盒身,多少张制盒底,可以正好制成整套罐头盒？
答案：用160张制盒身，120张制盒底
解析：
设用$x$张制盒身，则用$(280 - x)$张制盒底。
由题意，每张铁皮可制盒身$15$个，或盒底$40$个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，得：
$2 × 15x = 40(280 - x)$
$30x = 11200 - 40x$
$70x = 11200$
$x = 160$
$280 - 160 = 120$
答：用$160$张制盒身，$120$张制盒底。
由题意，每张铁皮可制盒身$15$个，或盒底$40$个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，得：
$2 × 15x = 40(280 - x)$
$30x = 11200 - 40x$
$70x = 11200$
$x = 160$
$280 - 160 = 120$
答：用$160$张制盒身，$120$张制盒底。