2. 如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,DE,DF分别是AB,AC上的中线,AB= 6,AC= 8.求DE+DF的长.
答案：1. 首先，根据直角三角形斜边中线定理：
在$Rt\triangle ABD$中，因为$DE$是斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线定理$DE = \frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
已知$AB = 6$，所以$DE=\frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt\triangle ACD$中，因为$DF$是斜边$AC$上的中线，根据直角三角形斜边中线定理$DF=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
已知$AC = 8$，所以$DF=\frac{1}{2}×8 = 4$。
2. 然后，计算$DE + DF$的值：
$DE+DF=3 + 4$。
所以$DE + DF$的长为$7$。
在$Rt\triangle ABD$中，因为$DE$是斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线定理$DE = \frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
已知$AB = 6$，所以$DE=\frac{1}{2}×6 = 3$。
在$Rt\triangle ACD$中，因为$DF$是斜边$AC$上的中线，根据直角三角形斜边中线定理$DF=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
已知$AC = 8$，所以$DF=\frac{1}{2}×8 = 4$。
2. 然后，计算$DE + DF$的值：
$DE+DF=3 + 4$。
所以$DE + DF$的长为$7$。
3. 如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD= CB,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF,与CD交于点M,连接AM.
(1)求线段EF,AC之间的数量关系；
(2)若∠BAC= 45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.
(1)求线段EF,AC之间的数量关系；
(2)若∠BAC= 45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.
答案：(1) 连接CE。
∵CD=CB，E为BD中点，
∴CE⊥BD（等腰三角形三线合一），即∠CEA=90°。
在Rt△CEA中，F为AC中点，
∴EF=1/2AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
(2) ∵∠BAC=45°，F为AC中点，由(1)知EF=1/2AC=AF=FC，
∴AF=EF，△AFE中∠FAE=∠FEA=45°，
∴∠AFE=90°，即EF⊥AC。
∵F为AC中点，EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，又M在EF上，
∴MA=MC（垂直平分线上的点到两端距离相等）。
∵M在CD上，CD=BC，
∴MC=CD-DM=BC-DM，
∴AM=BC-DM，即AM+DM=BC。
(1) EF=1/2AC
(2) AM+DM=BC
∵CD=CB，E为BD中点，
∴CE⊥BD（等腰三角形三线合一），即∠CEA=90°。
在Rt△CEA中，F为AC中点，
∴EF=1/2AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
(2) ∵∠BAC=45°，F为AC中点，由(1)知EF=1/2AC=AF=FC，
∴AF=EF，△AFE中∠FAE=∠FEA=45°，
∴∠AFE=90°，即EF⊥AC。
∵F为AC中点，EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，又M在EF上，
∴MA=MC（垂直平分线上的点到两端距离相等）。
∵M在CD上，CD=BC，
∴MC=CD-DM=BC-DM，
∴AM=BC-DM，即AM+DM=BC。
(1) EF=1/2AC
(2) AM+DM=BC
1. 如图,在△ABC中,CF⊥AB,垂足为F,BE⊥AC,垂足为E,M是BC的中点,则图中等腰三角形有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：D
解析：
在△ABC中，CF⊥AB，BE⊥AC，M是BC中点。
1. Rt△BFC中：M为斜边BC中点，由直角三角形斜边中线性质得MF=BM=MC，故△BMF（BM=MF）、△CMF（MC=MF）为等腰三角形。
2. Rt△BEC中：M为斜边BC中点，同理得ME=BM=MC，故△BME（BM=ME）、△CME（MC=ME）为等腰三角形。
3. △FME中：由MF=BM=MC，ME=BM=MC，得MF=ME，故△FME为等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
1. Rt△BFC中：M为斜边BC中点，由直角三角形斜边中线性质得MF=BM=MC，故△BMF（BM=MF）、△CMF（MC=MF）为等腰三角形。
2. Rt△BEC中：M为斜边BC中点，同理得ME=BM=MC，故△BME（BM=ME）、△CME（MC=ME）为等腰三角形。
3. △FME中：由MF=BM=MC，ME=BM=MC，得MF=ME，故△FME为等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
2. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC= ∠ADC= 90°,M,N分别是AC,BD的中点,试说明：
(1)MD= MB；
(2)MN⊥BD.
(1)MD= MB；
(2)MN⊥BD.
答案：（1）
在$\triangle ABC$中，因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$MB=\frac{1}{2}AC$。
在$\triangle ADC$中，因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$中点，同理可得$MD=\frac{1}{2}AC$。
所以$MD = MB$。
（2）
由（1）知$MB = MD$，又$N$是$BD$中点，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合），可得$MN\perp BD$。
在$\triangle ABC$中，因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$MB=\frac{1}{2}AC$。
在$\triangle ADC$中，因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，$M$是$AC$中点，同理可得$MD=\frac{1}{2}AC$。
所以$MD = MB$。
（2）
由（1）知$MB = MD$，又$N$是$BD$中点，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合），可得$MN\perp BD$。