2. 填空题：
(1)如图①是一个透明的圆柱状的玻璃杯,在其内部测得底面半径为3 cm、高为8 cm,有一支长12 cm的吸管斜放于杯中.若不考虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度至少为
(2)在高5m、长13m的一段台阶上铺地毯,台阶的剖面图如图②,地毯的宽度与台阶的宽度恰好相同,地毯的长度至少为
(1)如图①是一个透明的圆柱状的玻璃杯,在其内部测得底面半径为3 cm、高为8 cm,有一支长12 cm的吸管斜放于杯中.若不考虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度至少为
2
cm.(2)在高5m、长13m的一段台阶上铺地毯,台阶的剖面图如图②,地毯的宽度与台阶的宽度恰好相同,地毯的长度至少为
17
m.答案：(1) 2
(2) 17
(2) 17
解析：
(1) 吸管在圆柱内部最长就是圆柱的对角线长度，根据勾股定理可得：
对角线长度为：$\sqrt{(2×3)^2 + 8^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（cm），
吸管总长为12 cm，所以露出杯口外的长度为：$12 - 10 = 2$（cm）。
(2) 台阶的剖面图可以看作一个直角三角形，利用勾股定理，已知斜边为13m，高为5m，
所以水平距离为：$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$（m），
地毯的长度至少为台阶的竖直高度和水平长度之和，即：$5 + 12 = 17$（m）。
对角线长度为：$\sqrt{(2×3)^2 + 8^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$（cm），
吸管总长为12 cm，所以露出杯口外的长度为：$12 - 10 = 2$（cm）。
(2) 台阶的剖面图可以看作一个直角三角形，利用勾股定理，已知斜边为13m，高为5m，
所以水平距离为：$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$（m），
地毯的长度至少为台阶的竖直高度和水平长度之和，即：$5 + 12 = 17$（m）。
3. 交管部门规定小汽车在某道路上行驶的速度不得超过70 km/h.如图,一辆小汽车在该道路上沿直线行驶,某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪A正前方50 m的点C处,4 s后,小汽车与车速检测仪间的距离BA为130 m.这辆小汽车超速了吗？请说明理由.
答案：在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 50m$，$AB = 130m$。
由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{130^{2}-50^{2}}=\sqrt{(130 + 50)(130 - 50)}=\sqrt{180×80}=\sqrt{14400}=120(m)$。
小汽车的速度$v=\frac{120}{4}=30(m/s)$。
因为$1m/s = 3.6km/h$，所以$30m/s=30×3.6 = 108(km/h)$。
由于$108km/h＞70km/h$。
综上，这辆小汽车超速了。
由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{130^{2}-50^{2}}=\sqrt{(130 + 50)(130 - 50)}=\sqrt{180×80}=\sqrt{14400}=120(m)$。
小汽车的速度$v=\frac{120}{4}=30(m/s)$。
因为$1m/s = 3.6km/h$，所以$30m/s=30×3.6 = 108(km/h)$。
由于$108km/h＞70km/h$。
综上，这辆小汽车超速了。
1. 如图,在距离地面高4.5 m的墙上装有一盏感应灯A,在距感应灯5 m(含5 m)范围内若有物体,灯就会自动发光.一名身高为1.5 m的学生站在恰好能够使灯发光的位置上,则他距离墙有多远？
答案：设学生距离墙的距离为 $ x $ 米。
学生头顶到感应灯A的垂直距离为 $ 4.5 - 1.5 = 3 $ 米，水平距离为 $ x $ 米，此时学生头顶到A的距离为5米。
由勾股定理得：$ x^2 + 3^2 = 5^2 $
解得：$ x^2 = 25 - 9 = 16 $，$ x = 4 $（负值舍去）
答：他距离墙有4米。
学生头顶到感应灯A的垂直距离为 $ 4.5 - 1.5 = 3 $ 米，水平距离为 $ x $ 米，此时学生头顶到A的距离为5米。
由勾股定理得：$ x^2 + 3^2 = 5^2 $
解得：$ x^2 = 25 - 9 = 16 $，$ x = 4 $（负值舍去）
答：他距离墙有4米。
2. 如图,铁路上A,B两站相距25 km,C,D为两个村庄,DA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为A,B,已知DA= 15 km,CB= 10 km.现要在铁路AB上修建一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,E站应修建在离A站多远处？说明理由.
答案：设E站离A站的距离为$ x $km，则E站离B站的距离为$ (25 - x) $km。
在Rt△DAE中，由勾股定理得：$ DE^2 = DA^2 + AE^2 = 15^2 + x^2 $。
在Rt△CBE中，由勾股定理得：$ CE^2 = CB^2 + BE^2 = 10^2 + (25 - x)^2 $。
因为$ DE = CE $，所以$ DE^2 = CE^2 $，即：
$15^2 + x^2 = 10^2 + (25 - x)^2$
展开并化简：
$225 + x^2 = 100 + 625 - 50x + x^2$
$225 = 725 - 50x$
$50x = 500$
$x = 10$
答：E站应修建在离A站10km处。
在Rt△DAE中，由勾股定理得：$ DE^2 = DA^2 + AE^2 = 15^2 + x^2 $。
在Rt△CBE中，由勾股定理得：$ CE^2 = CB^2 + BE^2 = 10^2 + (25 - x)^2 $。
因为$ DE = CE $，所以$ DE^2 = CE^2 $，即：
$15^2 + x^2 = 10^2 + (25 - x)^2$
展开并化简：
$225 + x^2 = 100 + 625 - 50x + x^2$
$225 = 725 - 50x$
$50x = 500$
$x = 10$
答：E站应修建在离A站10km处。