活动一:想一想 说一说
探究:直线外一点和直线上各点的连线段中,垂线段最短.
(1)根据问题的已知条件和需要说明的结论画出图形;
(2)根据图形,请说明结论成立的理由.
探究:直线外一点和直线上各点的连线段中,垂线段最短.
(1)根据问题的已知条件和需要说明的结论画出图形;
(2)根据图形,请说明结论成立的理由.
答案：（1）图形见解析；（2）理由见解析
解析：
(1)画图：画直线l，在直线l外取一点P，过点P作PO⊥l于点O（O为垂足），在直线l上取不同于O的任意一点A，连接PA。
(2)理由：在Rt△POA中，∠POA=90°，由勾股定理得PA²=PO²+OA²。因为A≠O，所以OA＞0，OA²＞0，故PA²=PO²+OA²＞PO²，又PA、PO均为正数，所以PA＞PO。即直线外一点P与直线l上各点连线段中，垂线段PO最短。
(2)理由：在Rt△POA中，∠POA=90°，由勾股定理得PA²=PO²+OA²。因为A≠O，所以OA＞0，OA²＞0，故PA²=PO²+OA²＞PO²，又PA、PO均为正数，所以PA＞PO。即直线外一点P与直线l上各点连线段中，垂线段PO最短。
证明:在 Rt△ADC 中$,AC^2=$
在 Rt△DBC 中$,BC^2=$
在 Rt△ABC 中$,AC^2+BC^2=$
所以,得到等式
即$ h^2= mn.$
$m^2 + h^2$
;在 Rt△DBC 中$,BC^2=$
$n^2 + h^2$
;在 Rt△ABC 中$,AC^2+BC^2=$
$AB^2$
=$(m + n)^2$
;所以,得到等式
$m^2 + h^2+n^2 + h^2=(m + n)^2$
.即$ h^2= mn.$
答案：$m^2 + h^2$；$n^2 + h^2$；$AB^2$；$(m + n)^2$；$m^2 + h^2+n^2 + h^2=(m + n)^2$。
解析：
在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理，$AC^2 = m^2 + h^2$；
在$Rt\triangle DBC$中，根据勾股定理，$BC^2 = n^2 + h^2$；
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理，$AC^2 + BC^2 = AB^2=(m + n)^2$；
将$AC^2 = m^2 + h^2$，$BC^2 = n^2 + h^2$代入$AC^2 + BC^2 =(m + n)^2$可得：
$m^2 + h^2+n^2 + h^2=(m + n)^2$
$m^2 + h^2+n^2 + h^2=m^2+2mn+n^2$
$2h^2 = 2mn$
即$h^2 = mn$。
在$Rt\triangle DBC$中，根据勾股定理，$BC^2 = n^2 + h^2$；
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理，$AC^2 + BC^2 = AB^2=(m + n)^2$；
将$AC^2 = m^2 + h^2$，$BC^2 = n^2 + h^2$代入$AC^2 + BC^2 =(m + n)^2$可得：
$m^2 + h^2+n^2 + h^2=(m + n)^2$
$m^2 + h^2+n^2 + h^2=m^2+2mn+n^2$
$2h^2 = 2mn$
即$h^2 = mn$。
活动三:试一试 议一议
完成课本探究,回答以下问题:
(1)求$ a_1,a_2,…,a_5$的值,你找到什么规律?
(2)请在课本上画出表示√6的点.
(3)写出 a_9_9,aₙ的值.
完成课本探究,回答以下问题:
(1)求$ a_1,a_2,…,a_5$的值,你找到什么规律?
(2)请在课本上画出表示√6的点.
(3)写出 a_9_9,aₙ的值.
答案：(1)a₁=√2,a₂=√3,a₃=2,a₄=√5,a₅=√6；规律：aₙ=√(n+1)；(2)图略；(3)a₉₉=10,aₙ=√(n+1)
解析：
(1)构造直角三角形，以1为直角边，依次以斜边为新直角边，另一直角边为1，由勾股定理得：
a₁=√(1²+1²)=√2，
a₂=√(a₁²+1²)=√(2+1)=√3，
a₃=√(a₂²+1²)=√(3+1)=√4=2，
a₄=√(a₃²+1²)=√(4+1)=√5，
a₅=√(a₄²+1²)=√(5+1)=√6；
规律：aₙ=√(n+1)。
(2)以数轴原点为圆心，a₅=√6为半径画弧，与正半轴交点即为表示√6的点。
(3)由规律aₙ=√(n+1)，得a₉₉=√(99+1)=10，aₙ=√(n+1)。
a₁=√(1²+1²)=√2，
a₂=√(a₁²+1²)=√(2+1)=√3，
a₃=√(a₂²+1²)=√(3+1)=√4=2，
a₄=√(a₃²+1²)=√(4+1)=√5，
a₅=√(a₄²+1²)=√(5+1)=√6；
规律：aₙ=√(n+1)。
(2)以数轴原点为圆心，a₅=√6为半径画弧，与正半轴交点即为表示√6的点。
(3)由规律aₙ=√(n+1)，得a₉₉=√(99+1)=10，aₙ=√(n+1)。