对于选项A：
$a=8, b=15, c=17$，
$a^{2} + b^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$，
$c^{2} = 17^{2} = 289$，
因为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以能组成直角三角形。
对于选项B：
$a=9, b=12, c=15$，
$a^{2} + b^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225$，
$c^{2} = 15^{2} = 225$，
因为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以能组成直角三角形。
对于选项C：
$a=6, b=8, c=10$，
$a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$，
$c^{2} = 10^{2} = 100$，
因为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以能组成直角三角形。
对于选项D：
设 $a=2x, b=3x, c=4x$，
$a^{2} + b^{2} = (2x)^{2} + (3x)^{2} = 4x^{2} + 9x^{2} = 13x^{2}$，
$c^{2} = (4x)^{2} = 16x^{2}$，
因为 $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$，所以不能组成直角三角形。

(1) 采用割补法，以四边形ABCD各顶点的最左、最右、最上、最下位置确定一个长为4、宽为4的矩形，面积为4×4=16。减去周围四个直角三角形的面积：左上角三角形面积1/2×4×1=2，右上角三角形面积1/2×1×3=1.5，右下角三角形面积1/2×2×1=1，左下角三角形面积1/2×1×3=1.5。四边形ABCD面积=16-(2+1.5+1+1.5)=9。
(2) 连接BD，由勾股定理得：BC²=1²+3²=10，CD²=3²+1²=10，BD²=4²+2²=20。因为BC²+CD²=BD²，所以△BCD是直角三角形。

对于选项A：
我们验证 $9^{2} + 16^{2}$ 是否等于 $25^{2}$。
计算得 $9^{2} + 16^{2} = 81 + 256 = 337$，
而 $25^{2} = 625$。
因为 $337 \neq 625$，所以A组不能构成直角三角形。
对于选项B：
我们验证 $(\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2}$ 是否等于 $2^{2}$。
计算得 $(\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$，
而 $2^{2} = 4$。
因为 $4 = 4$，所以B组能构成直角三角形。
对于选项C：
我们验证 $6^{2} + 8^{2}$ 是否等于 $10^{2}$。
计算得 $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$，
而 $10^{2} = 100$。
因为 $100 = 100$，所以C组能构成直角三角形。
对于选项D：
我们验证 $5^{2} + 12^{2}$ 是否等于 $13^{2}$。
计算得 $5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$，
而 $13^{2} = 169$。
因为 $169 = 169$，所以D组能构成直角三角形。
综上所述，只有A组不能构成直角三角形。

(1)
当$12$是斜边时，第三边长是：
$\sqrt{12^{2} - 5^{2}} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$，
当两直角边为$5$和$12$时，斜边为：
$\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = 13$，
综上所述，答案为：$13$或$\sqrt{119}$。
(2)
对于勾股数$9, 40, \underline{\hspace{1em}}$，设第三边为$c$，根据勾股定理有：
$c = \sqrt{9^{2} + 40^{2}} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41$，
对于勾股数$8, \underline{\hspace{1em}}, 17$，设中间数为$b$，根据勾股定理有：
$b = \sqrt{17^{2} - 8^{2}} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$，
综上所述，答案为$41$ ； $15$。