1. 如图,折叠直角三角形纸片 ABC,使点 C 落在 AB 上的点 E 处. 已知 BC= 12 cm,∠B= 30°,则 DE 的长是(
A.6 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.2 cm
B
)A.6 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.2 cm
答案：B
解析：
设DE=x，由折叠性质得DC=DE=x，BD=BC-DC=12-x。
∵折叠后点C与E重合，∴∠C=∠DEB=90°（∠C为直角）。
在Rt△DEB中，∠B=30°，∴DE=1/2BD（30°角所对直角边是斜边一半）。
即x=1/2(12-x)，解得x=4。
∵折叠后点C与E重合，∴∠C=∠DEB=90°（∠C为直角）。
在Rt△DEB中，∠B=30°，∴DE=1/2BD（30°角所对直角边是斜边一半）。
即x=1/2(12-x)，解得x=4。
2. 如图,小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地,种了一些蔬菜. 爸爸让小明计算这块土地的面积,以便估算产量. 小明测得 AB= 4 m,BC= 3 m,CD= 13 m,DA= 12 m,又测得∠B= 90°. 求这块土地的面积.
答案：连接AC。
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=4²+3²=25，∴AC=5m。
S△ABC=1/2×AB×BC=1/2×4×3=6m²。
在△ADC中，AD=12m，AC=5m，CD=13m，
∵5²+12²=13²，即AC²+AD²=CD²，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°。
S△ADC=1/2×AC×AD=1/2×5×12=30m²。
四边形ABCD面积=S△ABC+S△ADC=6+30=36m²。
答：这块土地的面积为36m²。
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=4²+3²=25，∴AC=5m。
S△ABC=1/2×AB×BC=1/2×4×3=6m²。
在△ADC中，AD=12m，AC=5m，CD=13m，
∵5²+12²=13²，即AC²+AD²=CD²，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°。
S△ADC=1/2×AC×AD=1/2×5×12=30m²。
四边形ABCD面积=S△ABC+S△ADC=6+30=36m²。
答：这块土地的面积为36m²。
3. 问题：如图①,在等边三角形 ABC 内有一点 P,且$PA^{2}= 4$,$PB^{2}= 3$,$PC^{2}= 1$. 求∠BPC 的度数.
李明同学的思路：将△BPC 绕点 B 按逆时针方向旋转 60°,画出旋转后的图形(图②). 连接 PP',可得△P'PB 是等边三角形(可证),而△PP'A 又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),从而可求出∠BPC 的度数.
请你写出李明同学求∠BPC 度数的完整过程.
李明同学的思路：将△BPC 绕点 B 按逆时针方向旋转 60°,画出旋转后的图形(图②). 连接 PP',可得△P'PB 是等边三角形(可证),而△PP'A 又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),从而可求出∠BPC 的度数.
请你写出李明同学求∠BPC 度数的完整过程.
答案：将△BPC绕点B按逆时针方向旋转60°，得到△BP'A，连接PP'。
由旋转性质得：BP'=BP，P'A=PC，∠PBP'=60°，∠BP'A=∠BPC。
∵BP'=BP，∠PBP'=60°，∴△P'PB是等边三角形，∴PP'=BP，∠PP'B=60°。
∵PB²=3，∴PP'²=PB²=3。
∵PC²=1，∴P'A²=PC²=1。
∵PA²=4，∴P'A²+PP'²=1+3=4=PA²，由勾股定理逆定理得△PP'A是直角三角形，∠PP'A=90°。
∵△P'PB是等边三角形，∴∠PP'B=60°，∴∠BP'A=∠PP'B+∠PP'A=60°+90°=150°。
∵∠BP'A=∠BPC，∴∠BPC=150°。
答：∠BPC的度数为150°。
由旋转性质得：BP'=BP，P'A=PC，∠PBP'=60°，∠BP'A=∠BPC。
∵BP'=BP，∠PBP'=60°，∴△P'PB是等边三角形，∴PP'=BP，∠PP'B=60°。
∵PB²=3，∴PP'²=PB²=3。
∵PC²=1，∴P'A²=PC²=1。
∵PA²=4，∴P'A²+PP'²=1+3=4=PA²，由勾股定理逆定理得△PP'A是直角三角形，∠PP'A=90°。
∵△P'PB是等边三角形，∴∠PP'B=60°，∴∠BP'A=∠PP'B+∠PP'A=60°+90°=150°。
∵∠BP'A=∠BPC，∴∠BPC=150°。
答：∠BPC的度数为150°。