1. 如图,在平面直角坐标系的 x 轴负半轴、y 轴正半轴上分别截取 OA,OB,使 OA= OB,再分别以点 A,B 为圆心,以大于$\frac{1}{2}$AB 长为半径作弧,两弧交于点 C. 若点 C 的坐标为(m+2,3n),则 m 与 n 的关系为 (
A.m-3n= 2
B.3n-m= 3
C.m+3n= -2
D.m+2= 3n
C
)A.m-3n= 2
B.3n-m= 3
C.m+3n= -2
D.m+2= 3n
答案：C
解析：
分别以点$A,B$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$长为半径作弧，两弧交于点$C$。
根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可知点$C$在$AB$的垂直平分线上。
因为$OA = OB$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\triangle AOB$是等腰直角三角形，$AB$的垂直平分线也是第二象限角平分线，其函数解析式为$y = -x$，即第二象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。
已知点$C$的坐标为$(m + 2,3n)$，且点$C$在第二象限角平分线上，所以$m + 2 + 3n = 0$，移项可得$m + 3n = -2$。
根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可知点$C$在$AB$的垂直平分线上。
因为$OA = OB$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\triangle AOB$是等腰直角三角形，$AB$的垂直平分线也是第二象限角平分线，其函数解析式为$y = -x$，即第二象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。
已知点$C$的坐标为$(m + 2,3n)$，且点$C$在第二象限角平分线上，所以$m + 2 + 3n = 0$，移项可得$m + 3n = -2$。
2. 在平面直角坐标系中,已知点 A(-2,3),B(2,-1),经过点 A 的直线 l//x 轴,点 C 是直线 l 上的一个动点,当线段 BC 的长度最短时,点 C 的坐标为 (
A.(0,-1)
B.(-1,-2)
C.(-2,-1)
D.(2,3)
D
)A.(0,-1)
B.(-1,-2)
C.(-2,-1)
D.(2,3)
答案：D
3. 在平面直角坐标系中,若一个点的横坐标的 6 倍与纵坐标之差为 6,则称这个点为“如意点”. 下列结论中,错误的是 (
A.(2,6)是“如意点”
B.第二象限内不存在“如意点”
C.若点 P 是“如意点”,且在坐标轴上,则点 P 的坐标为(1,0)
D.已知点 A(-1,-1),B(3,-1),若点 Q 是第四象限内的“如意点”,点 Q 到直线 AB 的距离为 d,则 0≤d＜5
C
)A.(2,6)是“如意点”
B.第二象限内不存在“如意点”
C.若点 P 是“如意点”,且在坐标轴上,则点 P 的坐标为(1,0)
D.已知点 A(-1,-1),B(3,-1),若点 Q 是第四象限内的“如意点”,点 Q 到直线 AB 的距离为 d,则 0≤d＜5
答案：C
解析：
由“如意点”定义得6x - y = 6，即y = 6x - 6。
A. 当x=2时，y=6×2 - 6=6，(2,6)是“如意点”，A正确；
B. 第二象限x＜0，此时y=6x - 6＜0，与第二象限y＞0矛盾，不存在，B正确；
C. 坐标轴上的点：x轴上y=0，得x=1，即(1,0)；y轴上x=0，得y=-6，即(0,-6)，故C错误；
D. 直线AB：y=-1，Q在第四象限，x＞0，y=6x - 6＜0，得0＜x＜1，距离d=|(6x - 6)-(-1)|=|6x - 5|，0≤d＜5，D正确。
A. 当x=2时，y=6×2 - 6=6，(2,6)是“如意点”，A正确；
B. 第二象限x＜0，此时y=6x - 6＜0，与第二象限y＞0矛盾，不存在，B正确；
C. 坐标轴上的点：x轴上y=0，得x=1，即(1,0)；y轴上x=0，得y=-6，即(0,-6)，故C错误；
D. 直线AB：y=-1，Q在第四象限，x＞0，y=6x - 6＜0，得0＜x＜1，距离d=|(6x - 6)-(-1)|=|6x - 5|，0≤d＜5，D正确。
4. 如图,在平面直角坐标系中,过点 A(0,4)的直线 a⊥y 轴,M(9,4)为直线 a 上一点. 点 P 从点 M 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿直线 a 向左移动；同时,点 Q 从原点出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向右移动. 设运动时间为 t s.
(1)几秒后 AP= OQ？
(2)若以 A,O,Q,P 为顶点的四边形的面积是 10,求点 P 的坐标.
(1)几秒后 AP= OQ？
(2)若以 A,O,Q,P 为顶点的四边形的面积是 10,求点 P 的坐标.
答案：(1) 由题意，点P坐标为(9-2t,4)，点Q坐标为(t,0)。
AP=|9-2t|，OQ=t。
AP=OQ得|9-2t|=t。
当t≤4.5时，9-2t=t⇒t=3；
当t＞4.5时，2t-9=t⇒t=9。
综上，t=3或t=9。
(2) 四边形AOQP为梯形，高为4，面积S=(AP+OQ)×4÷2=10。
即(|9-2t|+t)×2=10⇒|9-2t|+t=5。
当t≤4.5时，9-2t+t=5⇒t=4，此时P(9-2×4,4)=(1,4)；
当t＞4.5时，2t-9+t=5⇒t=14/3，此时P(9-2×14/3,4)=(-1/3,4)。
综上，点P坐标为(1,4)或(-1/3,4)。
AP=|9-2t|，OQ=t。
AP=OQ得|9-2t|=t。
当t≤4.5时，9-2t=t⇒t=3；
当t＞4.5时，2t-9=t⇒t=9。
综上，t=3或t=9。
(2) 四边形AOQP为梯形，高为4，面积S=(AP+OQ)×4÷2=10。
即(|9-2t|+t)×2=10⇒|9-2t|+t=5。
当t≤4.5时，9-2t+t=5⇒t=4，此时P(9-2×4,4)=(1,4)；
当t＞4.5时，2t-9+t=5⇒t=14/3，此时P(9-2×14/3,4)=(-1/3,4)。
综上，点P坐标为(1,4)或(-1/3,4)。