10. 如图,⊙O的半径为1 cm,弦AB、CD的长度分别为$\sqrt{2}$ cm、1 cm,求弦AC、BD所夹的锐角α.
答案：
解：连接OA，$OB\text{，}OC\text{，}OD，$BC.
∵$OA=OB=1\,\,\text{cm，}AB=\sqrt{2}\,\,\text{cm}$
∴△OAB为等腰直角三角形
∴∠AOB=90°∴$∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB=45°$
∵$OC=OD=1\,\,\text{cm，}CD=1\,\,\text{cm}$
∴△OCD为等边三角形
∴∠COD=60°
∴$∠CBD=\frac{1}{2}∠COD=30°$
∴$\alpha =∠ACB+∠CBD=45°+30°=75°$
解：连接OA，$OB\text{，}OC\text{，}OD，$BC.
∵$OA=OB=1\,\,\text{cm，}AB=\sqrt{2}\,\,\text{cm}$
∴△OAB为等腰直角三角形
∴∠AOB=90°∴$∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB=45°$
∵$OC=OD=1\,\,\text{cm，}CD=1\,\,\text{cm}$
∴△OCD为等边三角形
∴∠COD=60°
∴$∠CBD=\frac{1}{2}∠COD=30°$
∴$\alpha =∠ACB+∠CBD=45°+30°=75°$
解析：
连接OA、OB、OC、OD。
∵⊙O半径为1 cm，AB=$\sqrt{2}$ cm，
∴OA=OB=1 cm，
在△OAB中，OA²+OB²=1+1=2=AB²，
∴∠AOB=90°。
∵CD=1 cm，OC=OD=1 cm，
∴△OCD为等边三角形，∠COD=60°。
∵∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∴α=∠CAD+∠ADB=30°+45°=75°。
75°
∵⊙O半径为1 cm，AB=$\sqrt{2}$ cm，
∴OA=OB=1 cm，
在△OAB中，OA²+OB²=1+1=2=AB²，
∴∠AOB=90°。
∵CD=1 cm，OC=OD=1 cm，
∴△OCD为等边三角形，∠COD=60°。
∵∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°，∠ADB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∴α=∠CAD+∠ADB=30°+45°=75°。
75°
11. (1)如图①,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 90°,D是△ABC外一点,且AD= AC.若以点A为圆心,AB为半径作⊙A,则点C、D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,从而可得∠BDC=
(2)如图②,在四边形ABCD中,∠BAD= ∠BCD= 90°,∠BDC= 25°,求∠BAC的度数.
(3)如图③,在△ABC中,∠BAC= 45°,AD是BC边上的高,且BD= 4,CD= 2,求AD的长.
45°
.(2)如图②,在四边形ABCD中,∠BAD= ∠BCD= 90°,∠BDC= 25°,求∠BAC的度数.
解：因为∠BAD=∠BCD = 90°，所以A，B，C，D四点共圆（四边形对角互补，四点共圆）。由圆周角定理可知，∠BAC与∠BDC所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$。所以∠BAC=∠BDC（同弧所对的圆周角相等）。已知∠BDC = 25°，所以∠BAC = 25°。
(3)如图③,在△ABC中,∠BAC= 45°,AD是BC边上的高,且BD= 4,CD= 2,求AD的长.
$3+\sqrt {17}$
答案：1. （1）
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
已知$\angle BAC = 90^{\circ}$是圆心角，$\angle BDC$是圆周角，且$\angle BDC$与$\angle BAC$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$。
所以$\angle BDC=\frac{1}{2}\angle BAC$，因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，则$\angle BDC = 45^{\circ}$。
2. （2）
解：因为$\angle BAD=\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$A$，$B$，$C$，$D$四点共圆（四边形对角互补，四点共圆）。
由圆周角定理可知，$\angle BAC$与$\angle BDC$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$。
所以$\angle BAC=\angle BDC$（同弧所对的圆周角相等）。
已知$\angle BDC = 25^{\circ}$，所以$\angle BAC = 25^{\circ}$。
3. （3）$3+\sqrt {17}$。
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
已知$\angle BAC = 90^{\circ}$是圆心角，$\angle BDC$是圆周角，且$\angle BDC$与$\angle BAC$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$。
所以$\angle BDC=\frac{1}{2}\angle BAC$，因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，则$\angle BDC = 45^{\circ}$。
2. （2）
解：因为$\angle BAD=\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$A$，$B$，$C$，$D$四点共圆（四边形对角互补，四点共圆）。
由圆周角定理可知，$\angle BAC$与$\angle BDC$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$。
所以$\angle BAC=\angle BDC$（同弧所对的圆周角相等）。
已知$\angle BDC = 25^{\circ}$，所以$\angle BAC = 25^{\circ}$。
3. （3）$3+\sqrt {17}$。