6. 如图,点 A、B、C、D、E 在⊙O 上,且$\widehat{AB}$的度数为 50°,则∠E +∠C= ______
155°
.答案：155°
解析：
连接AE。
∵$\widehat{AB}$的度数为50°，
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
∵四边形ACDE内接于⊙O，
∴∠C+∠AED=180°。
∵∠AED=∠AEB+∠E，
∴∠C+∠AEB+∠E=180°，
∴∠C+∠E=180°-∠AEB=180°-25°=155°。
155°
∵$\widehat{AB}$的度数为50°，
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
∵四边形ACDE内接于⊙O，
∴∠C+∠AED=180°。
∵∠AED=∠AEB+∠E，
∴∠C+∠AEB+∠E=180°，
∴∠C+∠E=180°-∠AEB=180°-25°=155°。
155°
7. 如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E、F,若∠E= 42°,∠F= 38°,则∠A=
50°
.答案：50°
解析：
在△ABE和△ADF中，∠E=42°，∠F=38°，设∠A=x。
因为∠ADC是△ADF的外角，所以∠ADC=∠A+∠F=x+38°。
因为∠ABC是△ABE的外角，所以∠ABC=∠A+∠E=x+42°。
由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠ADC+∠ABC=180°。
即(x+38°)+(x+42°)=180°，
2x+80°=180°，
2x=100°，
x=50°。
50°
因为∠ADC是△ADF的外角，所以∠ADC=∠A+∠F=x+38°。
因为∠ABC是△ABE的外角，所以∠ABC=∠A+∠E=x+42°。
由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠ADC+∠ABC=180°。
即(x+38°)+(x+42°)=180°，
2x+80°=180°，
2x=100°，
x=50°。
50°
8. 已知:如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足为 E,F 为 DC 延长线上的一点,连接 AF 交⊙O 于点 M.求证:∠AMD= ∠FMC.
答案：
证明：连接AC，BC
∵ 四边形ABCM为⊙O的内接四边形
∴ ∠AMC+∠B=180°∵ ∠AMC+∠FMC=180°
∴ ∠B=∠FMC∵ AB是直径，AB⊥CD
∴ ∠ACB=∠CEB=90°
∴ ∠B+∠BCE=∠BCE+∠ACE=90°
∴ ∠B=∠ACE
∵ ∠B=∠FMC，∠ACE=∠AMD
∴ ∠AMD=∠FMC
证明：连接AC，BC
∵ 四边形ABCM为⊙O的内接四边形
∴ ∠AMC+∠B=180°∵ ∠AMC+∠FMC=180°
∴ ∠B=∠FMC∵ AB是直径，AB⊥CD
∴ ∠ACB=∠CEB=90°
∴ ∠B+∠BCE=∠BCE+∠ACE=90°
∴ ∠B=∠ACE
∵ ∠B=∠FMC，∠ACE=∠AMD
∴ ∠AMD=∠FMC
9. 已知:如图,圆内接四边形 ABCD 的两组对边的延长线分别交于点 E、F,∠AEB、∠AFD 的平分线交于点 P.求证:PE⊥PF.
答案：证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠BCD+∠BCF=180°
∴∠BCF=∠A，
∵FM平分∠BFC，
∴∠BFN = ∠CFN，
∵∠EMP=∠A+∠BFN， ∠PNE=∠BCF+∠CFN
∴∠EMP=∠PNE，
∴EM=EN，
∵PE平分∠MEN，
∴PE⊥PF
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠BCD+∠BCF=180°
∴∠BCF=∠A，
∵FM平分∠BFC，
∴∠BFN = ∠CFN，
∵∠EMP=∠A+∠BFN， ∠PNE=∠BCF+∠CFN
∴∠EMP=∠PNE，
∴EM=EN，
∵PE平分∠MEN，
∴PE⊥PF