1. 一根钢管放在V形架内,其截面图如图所示,O为钢管截面的圆心,已知钢管的半径为25 cm,∠MPN= 60°,则OP=
50
cm.答案：50
解析：
连接OM，ON。
因为钢管与V形架相切，所以OM⊥PM，ON⊥PN，即∠OMP=∠ONP=90°。
又因为OM=ON=25cm（半径），OP为公共边，所以Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），则∠OPM=∠OPN=∠MPN/2=30°。
在Rt△OMP中，sin∠OPM=OM/OP，即sin30°=25/OP。
因为sin30°=1/2，所以1/2=25/OP，解得OP=50cm。
50
因为钢管与V形架相切，所以OM⊥PM，ON⊥PN，即∠OMP=∠ONP=90°。
又因为OM=ON=25cm（半径），OP为公共边，所以Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），则∠OPM=∠OPN=∠MPN/2=30°。
在Rt△OMP中，sin∠OPM=OM/OP，即sin30°=25/OP。
因为sin30°=1/2，所以1/2=25/OP，解得OP=50cm。
50
2. 如图,AB、AC是⊙O的切线,点D在⊙O上,且∠D= 70°,则∠A= ______.
40°
答案：40°
解析：
连接OB、OC。
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA=∠OCA=90°。
∵∠D=70°，
∴∠BOC=2∠D=140°。
在四边形ABOC中，∠A+∠OBA+∠OCA+∠BOC=360°，
∴∠A=360°-∠OBA-∠OCA-∠BOC=360°-90°-90°-140°=40°。
40°
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA=∠OCA=90°。
∵∠D=70°，
∴∠BOC=2∠D=140°。
在四边形ABOC中，∠A+∠OBA+∠OCA+∠BOC=360°，
∴∠A=360°-∠OBA-∠OCA-∠BOC=360°-90°-90°-140°=40°。
40°
3. 如图,在Rt△EBC中,∠CBE= 90°,点A在边EB上,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,若BC= 6,EB= 8,则⊙O的半径为
3
.答案：3
解析：
连接OD，设⊙O的半径为$ r $，则$ OA=OB=OD=r $。
因为$ EB=8 $，所以$ OE=EB - OB=8 - r $。
因为$ \angle CBE=90^\circ $，$ BC=6 $，$ EB=8 $，所以$ EC=\sqrt{EB^2 + BC^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=10 $。
因为CE是⊙O的切线，D为切点，所以$ OD \perp CE $，即$ \angle ODE=90^\circ $。
又因为$ \angle CBE=90^\circ $，$ \angle E=\angle E $，所以$ \triangle EOD \sim \triangle ECB $。
所以$ \frac{OD}{BC}=\frac{OE}{EC} $，即$ \frac{r}{6}=\frac{8 - r}{10} $。
解得$ 10r = 6(8 - r) $，$ 10r = 48 - 6r $，$ 16r = 48 $，$ r = 3 $。
3
因为$ EB=8 $，所以$ OE=EB - OB=8 - r $。
因为$ \angle CBE=90^\circ $，$ BC=6 $，$ EB=8 $，所以$ EC=\sqrt{EB^2 + BC^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=10 $。
因为CE是⊙O的切线，D为切点，所以$ OD \perp CE $，即$ \angle ODE=90^\circ $。
又因为$ \angle CBE=90^\circ $，$ \angle E=\angle E $，所以$ \triangle EOD \sim \triangle ECB $。
所以$ \frac{OD}{BC}=\frac{OE}{EC} $，即$ \frac{r}{6}=\frac{8 - r}{10} $。
解得$ 10r = 6(8 - r) $，$ 10r = 48 - 6r $，$ 16r = 48 $，$ r = 3 $。
3
4. 如图,在矩形ABCD中,AB= 4,AD= 5,AD、AB、BC分别与⊙O相切于点E、F、G,过点D作⊙O的切线,交BC于点M,切点为N,则DM的长为
$\frac{13}{3}$
.答案：$\frac{13}{3}$
解析：
设⊙O半径为$r$，连接OE、OF、OG，OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，四边形AFOE、FBGO为矩形，AF=OE=$r$，BF=OG=$r$，AB=AF+BF=$2r$=4，$r$=2，OE=2，AE=OF=2，ED=AD-AE=5-2=3，设CM=$x$，则BM=BC-CM=5-$x$，DM切⊙O于N，DN=DE=3，MN=MG=BM-BG=5-$x$-2=3-$x$，CD=4，在Rt△DCM中，$DM^2=CD^2+CM^2$，$(DN+MN)^2=4^2+x^2$，$(3+3-x)^2=16+x^2$，$(6-x)^2=16+x^2$，36-12x+$x^2$=16+$x^2$，12x=20，$x=\frac{5}{3}$，DM=6-$\frac{5}{3}$=$\frac{13}{3}$
$\frac{13}{3}$
$\frac{13}{3}$
5. 如图,BC是⊙O的直径,P为⊙O外的一点,PA、PB为⊙O的切线,切点分别为A、B.试说明AC//OP.
答案：
证明：连接OA，AB，AB与OP交于点D.
∵PA，PB为$\odot O$的切线
∴PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
∵OA=OB
∴点O在AB的垂直平分线上
∴OP垂直平分AB
∴∠BDO=90°
∵BC为$\odot O$的直径
∴∠BAC=90°
∴∠BDO=∠BAC
∴AC//OP
证明：连接OA，AB，AB与OP交于点D.
∵PA，PB为$\odot O$的切线
∴PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
∵OA=OB
∴点O在AB的垂直平分线上
∴OP垂直平分AB
∴∠BDO=90°
∵BC为$\odot O$的直径
∴∠BAC=90°
∴∠BDO=∠BAC
∴AC//OP