活动一：画一画 想一想
1. 画一个圆，并在圆上任意确定两个点，在圆中画出与这两个点相关的线段和角。
2. 改变图中两点的位置，观察这两点间圆上的部分及上述线段和角会发生怎样的变化。
1. 画一个圆，并在圆上任意确定两个点，在圆中画出与这两个点相关的线段和角。
2. 改变图中两点的位置，观察这两点间圆上的部分及上述线段和角会发生怎样的变化。
答案：答题卡：
1.
①画一个圆，确定两点$A$、$B$在圆上；
②连接$A$、$B$两点，得到弦$AB$；连接圆上一点（不与$A$、$B$重合）与$A$、$B$分别得到两条射线，两条射线所夹的角为圆周角，其对应的圆心角是以圆心和$A$、$B$两点构成的角；以圆心和$A$、$B$构成三角形，可得到圆心角相关的三角形；
2. 当改变$A$、$B$两点位置时：
两点间圆上的部分长度会改变；
弦$AB$的长度会改变；
圆周角和圆心角的大小会改变，但同弧所对的圆周角等于圆心角的一半这一性质不变。
1.
①画一个圆，确定两点$A$、$B$在圆上；
②连接$A$、$B$两点，得到弦$AB$；连接圆上一点（不与$A$、$B$重合）与$A$、$B$分别得到两条射线，两条射线所夹的角为圆周角，其对应的圆心角是以圆心和$A$、$B$两点构成的角；以圆心和$A$、$B$构成三角形，可得到圆心角相关的三角形；
2. 当改变$A$、$B$两点位置时：
两点间圆上的部分长度会改变；
弦$AB$的长度会改变；
圆周角和圆心角的大小会改变，但同弧所对的圆周角等于圆心角的一半这一性质不变。
活动二：想一想 做一做
1. 画一个圆，在圆上任意确定三个点 $ A $、$ B $、$ C $，并写出图中所有的弦和弧。
2. 在半径不等的两个圆中，能画出两条等弧吗？利用透明纸试一试！
1. 画一个圆，在圆上任意确定三个点 $ A $、$ B $、$ C $，并写出图中所有的弦和弧。
2. 在半径不等的两个圆中，能画出两条等弧吗？利用透明纸试一试！
答案：答题卡：
1.
画圆，确定圆上三点$A$、$B$、$C$。
弦：$AB$，$BC$，$AC$。
弧：$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BA}$，$\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{CB}$，$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{CA}$，$\overset{\frown}{ABC}$，$\overset{\frown}{ACB}$，$\overset{\frown}{BAC}$，$\overset{\frown}{BCA}$，$\overset{\frown}{CBA}$，$\overset{\frown}{CAB}$。
2. 在半径不等的两个圆中，无法画出两条等弧。
1.
画圆，确定圆上三点$A$、$B$、$C$。
弦：$AB$，$BC$，$AC$。
弧：$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{BA}$，$\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{CB}$，$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{CA}$，$\overset{\frown}{ABC}$，$\overset{\frown}{ACB}$，$\overset{\frown}{BAC}$，$\overset{\frown}{BCA}$，$\overset{\frown}{CBA}$，$\overset{\frown}{CAB}$。
2. 在半径不等的两个圆中，无法画出两条等弧。
1. 判断（正确的打“√”，错误的打“×”）：$\n（1）$顶点在圆心的角是圆心角；$（ ）\n（2）$周长相等的两个圆是等圆；$（ ）\n（3）$长度相等的两条弧是等弧；（ ）
答案：（1）√
（2）√
（3）×
（2）√
（3）×
解析：
（1）根据圆心角定义，顶点在圆心的角称为圆心角，所以该说法正确。
（2）圆的周长公式为$C = 2\pi R$，周长相等的两个圆，半径$R$一定相等，半径相等的圆是等圆，所以该说法正确。
（3）等弧不仅要求弧的长度相等，还要求在同圆或等圆中，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以该说法错误。
（2）圆的周长公式为$C = 2\pi R$，周长相等的两个圆，半径$R$一定相等，半径相等的圆是等圆，所以该说法正确。
（3）等弧不仅要求弧的长度相等，还要求在同圆或等圆中，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以该说法错误。
- （4）同一条弦所对的两条弧是等弧.（ ）
2. 如图，$ AB $、$ CD $ 是 $ \odot O $ 的两条直径，若 $ \angle ABC = 28^{\circ} $，则 $ \angle BAD = $ ______ $ ^{\circ} $。
3. 如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 90^{\circ} $，$ BC = 8 $，以点 $ A $ 为圆心，$ AC $ 为半径所画的圆恰好经过 $ BC $ 的中点 $ D $，则 $ AB = $ ______。
4. 如图，点 $ A $、$ B $、$ C $ 在 $ \odot O $ 上，$ \odot O $ 的直径 $ AD $ 平分 $ \angle BAC $，$ AB $ 与 $ AC $ 有什么数量关系？说明你的理由。
2. 如图，$ AB $、$ CD $ 是 $ \odot O $ 的两条直径，若 $ \angle ABC = 28^{\circ} $，则 $ \angle BAD = $ ______ $ ^{\circ} $。
3. 如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 90^{\circ} $，$ BC = 8 $，以点 $ A $ 为圆心，$ AC $ 为半径所画的圆恰好经过 $ BC $ 的中点 $ D $，则 $ AB = $ ______。
4. 如图，点 $ A $、$ B $、$ C $ 在 $ \odot O $ 上，$ \odot O $ 的直径 $ AD $ 平分 $ \angle BAC $，$ AB $ 与 $ AC $ 有什么数量关系？说明你的理由。
答案：1. ×；2. 28；3. 4√3；4. AB=AC
解析：
1. 同一条弦所对的弧有优弧和劣弧，只有直径所对的两条弧是等弧，故错误。
2. ∵AB、CD是直径，∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=28°，∠BOC=180°-2×28°=124°，∠AOD=∠BOC=124°，OA=OD，∠OAD=(180°-124°)/2=28°，即∠BAD=28°。
3. Rt△ABC中，D为BC中点，BC=8，∴AD=BC/2=4。∵D在⊙A上，∴AC=AD=4。由勾股定理，AB=√(BC²-AC²)=√(8²-4²)=4√3。
4. AB=AC。理由：AD是直径，∠ABD=∠ACD=90°。AD平分∠BAC，∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠ABD=∠ACD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC。
2. ∵AB、CD是直径，∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=28°，∠BOC=180°-2×28°=124°，∠AOD=∠BOC=124°，OA=OD，∠OAD=(180°-124°)/2=28°，即∠BAD=28°。
3. Rt△ABC中，D为BC中点，BC=8，∴AD=BC/2=4。∵D在⊙A上，∴AC=AD=4。由勾股定理，AB=√(BC²-AC²)=√(8²-4²)=4√3。
4. AB=AC。理由：AD是直径，∠ABD=∠ACD=90°。AD平分∠BAC，∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠ABD=∠ACD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC。
1. 平面上一点 $ P $ 与 $ \odot O $ 上点的最长距离为 $ 6 cm $，最短距离为 $ 2 cm $，则 $ \odot O $ 的半径为 ______ $ cm $。
2. 如图，以 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $ 为直径的 $ \odot O $ 分别交 $ AB $、$ AC $ 于点 $ D $、$ E $，连接 $ OD $、$ OE $，若 $ \angle A = 65^{\circ} $，则 $ \angle DOE = $ ______ $ ^{\circ} $。
3. 如图，两个同心圆中，大圆的半径 $ AB $、$ AC $ 分别交小圆于点 $ D $、$ E $，连接 $ DC $、$ EB $ 交于点 $ F $。$ \triangle BDF $ 与 $ \triangle CEF $ 是否全等？为什么？
4. 如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的弦，半径 $ OC $、$ OD $ 分别交 $ AB $ 于点 $ E $、$ F $，且 $ AE = BF $，请判断线段 $ OE $ 与 $ OF $ 的数量关系，并说明理由。
5. 如图，过 $ A $、$ C $、$ D $ 三点的圆的圆心为点 $ E $，过 $ B $、$ F $、$ E $ 三点的圆的圆心为点 $ D $，$ \angle ABC = 17^{\circ} $，求 $ \angle BAC $ 的度数。
2. 如图，以 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $ 为直径的 $ \odot O $ 分别交 $ AB $、$ AC $ 于点 $ D $、$ E $，连接 $ OD $、$ OE $，若 $ \angle A = 65^{\circ} $，则 $ \angle DOE = $ ______ $ ^{\circ} $。
3. 如图，两个同心圆中，大圆的半径 $ AB $、$ AC $ 分别交小圆于点 $ D $、$ E $，连接 $ DC $、$ EB $ 交于点 $ F $。$ \triangle BDF $ 与 $ \triangle CEF $ 是否全等？为什么？
4. 如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的弦，半径 $ OC $、$ OD $ 分别交 $ AB $ 于点 $ E $、$ F $，且 $ AE = BF $，请判断线段 $ OE $ 与 $ OF $ 的数量关系，并说明理由。
5. 如图，过 $ A $、$ C $、$ D $ 三点的圆的圆心为点 $ E $，过 $ B $、$ F $、$ E $ 三点的圆的圆心为点 $ D $，$ \angle ABC = 17^{\circ} $，求 $ \angle BAC $ 的度数。
答案：1. 4或2
2. 50
3. 全等
4. OE=OF
5. 34
2. 50
3. 全等
4. OE=OF
5. 34
解析：
1. 当点P在⊙O外时，半径$r = \frac{6 - 2}{2} = 2$；当点P在⊙O内时，半径$r = \frac{6 + 2}{2} = 4$。
2. ∵∠A=65°，∴∠B+∠C=115°。∵OB=OD，OC=OE，∴∠ODB=∠B，∠OEC=∠C。∴∠DOB=180°-2∠B，∠EOC=180°-2∠C。∴∠DOE=180°-(∠DOB+∠EOC)=180°-(180°-2∠B+180°-2∠C)=2(∠B+∠C)-180°=2×115°-180°=50°。
3. 全等。理由：∵同心圆，∴OA=OB=OC，OD=OE。∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE。∵OD=OE，∠AOD=∠AOE，OA=OA，∴△AOD≌△AOE(SAS)，∴∠ADO=∠AEO。∴∠BDF=180°-∠ADO=180°-∠AEO=∠CEF。又∠BFD=∠CFE，∴△BDF≌△CEF(AAS)。
4. OE=OF。理由：过O作OG⊥AB于G，则AG=BG。∵AE=BF，∴AG-AE=BG-BF，即EG=FG。又OG=OG，∠OGE=∠OGF=90°，∴△OEG≌△OFG(SAS)，∴OE=OF。
5. ∵E是△ACD外心，∴EA=ED；D是△BEF外心，∴DB=DE。∴EA=ED=DB。设∠BAC=x，则∠EAD=∠EDA=x。∠DBE=∠DEB=y，∠EDA=∠DEB+∠DBE，即x=2y。∵∠ABC=y=17°，∴x=34°。
2. ∵∠A=65°，∴∠B+∠C=115°。∵OB=OD，OC=OE，∴∠ODB=∠B，∠OEC=∠C。∴∠DOB=180°-2∠B，∠EOC=180°-2∠C。∴∠DOE=180°-(∠DOB+∠EOC)=180°-(180°-2∠B+180°-2∠C)=2(∠B+∠C)-180°=2×115°-180°=50°。
3. 全等。理由：∵同心圆，∴OA=OB=OC，OD=OE。∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE。∵OD=OE，∠AOD=∠AOE，OA=OA，∴△AOD≌△AOE(SAS)，∴∠ADO=∠AEO。∴∠BDF=180°-∠ADO=180°-∠AEO=∠CEF。又∠BFD=∠CFE，∴△BDF≌△CEF(AAS)。
4. OE=OF。理由：过O作OG⊥AB于G，则AG=BG。∵AE=BF，∴AG-AE=BG-BF，即EG=FG。又OG=OG，∠OGE=∠OGF=90°，∴△OEG≌△OFG(SAS)，∴OE=OF。
5. ∵E是△ACD外心，∴EA=ED；D是△BEF外心，∴DB=DE。∴EA=ED=DB。设∠BAC=x，则∠EAD=∠EDA=x。∠DBE=∠DEB=y，∠EDA=∠DEB+∠DBE，即x=2y。∵∠ABC=y=17°，∴x=34°。