9. 两个小孩的年龄分别是 $ x $ 岁,$ y $ 岁,且 $ x^2 + xy = 99 $,试求这两个小孩的年龄.
答案：9岁和2岁.
解析：
$x^2 + xy = x(x + y) = 99$，99可分解为$1×99$，$3×33$，$9×11$。
因为小孩年龄为正整数，所以可能情况：
$x=1$，$x + y=99$，则$y=98$（不符合小孩年龄）；
$x=3$，$x + y=33$，则$y=30$（不符合小孩年龄）；
$x=9$，$x + y=11$，则$y=2$（符合题意）；
$x=11$，$x + y=9$，则$y=-2$（年龄不能为负，舍去）；
$x=33$，$x + y=3$，则$y=-30$（舍去）；
$x=99$，$x + y=1$，则$y=-98$（舍去）。
综上，两个小孩年龄为9岁和2岁。
因为小孩年龄为正整数，所以可能情况：
$x=1$，$x + y=99$，则$y=98$（不符合小孩年龄）；
$x=3$，$x + y=33$，则$y=30$（不符合小孩年龄）；
$x=9$，$x + y=11$，则$y=2$（符合题意）；
$x=11$，$x + y=9$，则$y=-2$（年龄不能为负，舍去）；
$x=33$，$x + y=3$，则$y=-30$（舍去）；
$x=99$，$x + y=1$，则$y=-98$（舍去）。
综上，两个小孩年龄为9岁和2岁。
因为 $ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) $,这说明多项式 $ x^2 + 2x - 3 $ 有一个因式为 $ x - 1 $,我们把 $ x = 1 $ 代入此多项式发现 $ x = 1 $ 能使多项式 $ x^2 + 2x - 3 $ 的值为 $ 0 $.
利用上述阅读材料求解：
(1)若 $ (x - 3) $ 是多项式 $ x^2 + kx + 12 $ 的一个因式,求 $ k $ 的值；
(2)若 $ (x - 3) $ 和 $ (x - 4) $ 是多项式 $ x^3 + mx^2 + 12x + n $ 的两个因式,试求 $ m $,$ n $ 的值；
(3)在(2)的条件下,把多项式 $ x^3 + mx^2 + 12x + n $ 因式分解.
利用上述阅读材料求解：
(1)若 $ (x - 3) $ 是多项式 $ x^2 + kx + 12 $ 的一个因式,求 $ k $ 的值；
(2)若 $ (x - 3) $ 和 $ (x - 4) $ 是多项式 $ x^3 + mx^2 + 12x + n $ 的两个因式,试求 $ m $,$ n $ 的值；
(3)在(2)的条件下,把多项式 $ x^3 + mx^2 + 12x + n $ 因式分解.
答案：（1）k=-7. （2）m,n的值分别为-7和0. （3）
∵m=-7,n=0，
∴x³+mx²+12x+n可化为x³-7x²+12x，
∴x³-7x²+12x=x(x²-7x+12)=x(x-3)(x-4).
∵m=-7,n=0，
∴x³+mx²+12x+n可化为x³-7x²+12x，
∴x³-7x²+12x=x(x²-7x+12)=x(x-3)(x-4).
1. 下列四个多项式是完全平方式的是(
A.$x^{2}+xy+y^{2}$
B.$x^{2}-2xy-y^{2}$
C.$4m^{2}+2mn+4n^{2}$
D.$\frac{1}{4}a^{2}+ab+b^{2}$
D
)A.$x^{2}+xy+y^{2}$
B.$x^{2}-2xy-y^{2}$
C.$4m^{2}+2mn+4n^{2}$
D.$\frac{1}{4}a^{2}+ab+b^{2}$
答案：D
解析：
完全平方式需满足$a^2\pm2ab+b^2$形式。
A选项：$x^2+xy+y^2$，中间项为$xy$，非$\pm2xy$，不是完全平方式。
B选项：$x^2-2xy-y^2$，末项为$-y^2$，非平方项，不是完全平方式。
C选项：$4m^2+2mn+4n^2=(2m)^2+2mn+(2n)^2$，中间项为$2mn$，非$\pm2×2m×2n=\pm8mn$，不是完全平方式。
D选项：$\frac{1}{4}a^2+ab+b^2=(\frac{1}{2}a)^2+2×\frac{1}{2}a× b+b^2=(\frac{1}{2}a+b)^2$，是完全平方式。
D
A选项：$x^2+xy+y^2$，中间项为$xy$，非$\pm2xy$，不是完全平方式。
B选项：$x^2-2xy-y^2$，末项为$-y^2$，非平方项，不是完全平方式。
C选项：$4m^2+2mn+4n^2=(2m)^2+2mn+(2n)^2$，中间项为$2mn$，非$\pm2×2m×2n=\pm8mn$，不是完全平方式。
D选项：$\frac{1}{4}a^2+ab+b^2=(\frac{1}{2}a)^2+2×\frac{1}{2}a× b+b^2=(\frac{1}{2}a+b)^2$，是完全平方式。
D
2. 对下列多项式进行因式分解：
(1)$a^{2}-b^{2}=$(
(3)$a^{2}-2ab+b^{2}=$(
(5)$x^{2}-10x+25=$
(1)$a^{2}-b^{2}=$(
a-b
)(a+b
)；(2)$a^{2}+2ab+b^{2}=$(a+b
)$^{2}$；(3)$a^{2}-2ab+b^{2}=$(
a-b
)$^{2}$；(4)$x^{2}-4y^{2}=$(x-2y)(x+2y)
；(5)$x^{2}-10x+25=$
(x-5)²
；(6)$3x^{2}-3=$3(x-1)(x+1)
。答案：（1）a-b,a+b；（2）a+b；（3）a-b；（4）(x-2y)(x+2y)；（5）(x-5)²；（6）3(x-1)(x+1)
解析：
(1)$a-b$,$a+b$；
(2)$a+b$；
(3)$a-b$；
(4)$(x-2y)(x+2y)$；
(5)$(x-5)^{2}$；
(6)$3(x-1)(x+1)$
3. 因式分解：$3x^{2}-27= $
3(x+3)(x-3)
。答案：3(x+3)(x-3)