$x^{2}y + xy^{2}=xy(x + y)$，
因为$x^{2}y + xy^{2}= 42$，$xy = 7$，
所以$7(x + y)=42$，
所以$x + y=6$。
6

$(x + 3)(x - n) = x^{2} - nx + 3x - 3n = x^{2} + (3 - n)x - 3n$，
因为多项式$x^{2}-6x + m$分解因式得$(x + 3)(x - n)$，
所以$\begin{cases}3 - n = -6\\m = -3n\end{cases}$，
由$3 - n = -6$，得$n = 9$，
将$n = 9$代入$m = -3n$，得$m = -3×9 = -27$，
所以$m + n = -27 + 9 = -18$。
$-18$

$3^{48}-1=(3^{24}-1)(3^{24}+1)=(3^{12}-1)(3^{12}+1)(3^{24}+1)=(3^6-1)(3^6+1)(3^{12}+1)(3^{24}+1)=(3^3-1)(3^3+1)(3^6+1)(3^{12}+1)(3^{24}+1)=26×28×(3^6+1)(3^{12}+1)(3^{24}+1)$，故这两个整数是26，28.

$a\otimes25=a^{3}-a×25=a^{3}-25a=a(a^{2}-25)=a(a+5)(a-5)$

$a + 2ab = c + 2bc$，
$a(1 + 2b) = c(1 + 2b)$，
因为三角形边长$b ＞ 0$，所以$1 + 2b \neq 0$，
两边同时除以$1 + 2b$得$a = c$，
所以$\triangle ABC$是等腰三角形.
等腰三角形

设$\frac{x}{y}=k$，则$x = ky$。
将$x = ky$代入$x^{2}-3xy - 4y^{2}= 0$，得：
$(ky)^{2}-3(ky)y - 4y^{2}= 0$
$k^{2}y^{2}-3ky^{2}-4y^{2}=0$
因为$y\neq0$，等式两边同时除以$y^{2}$，得：
$k^{2}-3k - 4=0$
因式分解得$(k - 4)(k + 1)=0$
解得$k = 4$或$k=-1$
即$\frac{x}{y}$的值是$4$或$-1$。

由$a + b = 5$得$a = 5 - b$。
将$a = 5 - b$代入$c^{2}= ab + b - 9$，得：
$c^{2}=(5 - b)b + b - 9$
$=5b - b^{2}+ b - 9$
$=-b^{2}+ 6b - 9$
$=-(b^{2}- 6b + 9)$
$=-(b - 3)^{2}$
因为$c^{2}\geq0$，$-(b - 3)^{2}\leq0$，所以$c^{2}=-(b - 3)^{2}=0$，即$b = 3$，$c = 0$。
则$a = 5 - b = 5 - 3 = 2$。
所以$ab - c = 2×3 - 0 = 6$。
6

解：$4a^{2}(x + 7)-3(x + 7)$
$=(x + 7)(4a^{2}-3)$
当$a = -5$，$x = 3$时，
$(x + 7)(4a^{2}-3)$
$=(3 + 7)(4×(-5)^{2}-3)$
$=10×(4×25 - 3)$
$=10×(100 - 3)$
$=10×97$
$=970$