1. 计算$\frac{2a}{a + 1} + \frac{2}{a + 1}$的结果是 (
A.$2$
B.$2a + 2$
C.$1$
D.$\frac{4a}{a + 1}$
A
)A.$2$
B.$2a + 2$
C.$1$
D.$\frac{4a}{a + 1}$
答案：A
解析：
$\frac{2a}{a + 1} + \frac{2}{a + 1} = \frac{2a + 2}{a + 1} = \frac{2(a + 1)}{a + 1} = 2$
A
A
2. 化简$\frac{m^2}{m - n} + \frac{n^2}{n - m}$的结果是 (
A.$m + n$
B.$n - m$
C.$m - n$
D.$-m - n$
A
)A.$m + n$
B.$n - m$
C.$m - n$
D.$-m - n$
答案：A
解析：
$\begin{aligned}\frac{m^2}{m - n} + \frac{n^2}{n - m}&=\frac{m^2}{m - n} - \frac{n^2}{m - n}\\&=\frac{m^2 - n^2}{m - n}\\&=\frac{(m + n)(m - n)}{m - n}\\&=m + n\end{aligned}$
A
A
3. 计算：$(a + 2 + \frac{1}{a}) ÷ (a - \frac{1}{a})$。
答案：$\frac{a+1}{a-1}$
解析：
$(a + 2 + \frac{1}{a}) ÷ (a - \frac{1}{a})$
$=\left(\frac{a^2}{a} + \frac{2a}{a} + \frac{1}{a}\right) ÷ \left(\frac{a^2}{a} - \frac{1}{a}\right)$
$=\frac{a^2 + 2a + 1}{a} ÷ \frac{a^2 - 1}{a}$
$=\frac{(a + 1)^2}{a} \cdot \frac{a}{(a + 1)(a - 1)}$
$=\frac{a + 1}{a - 1}$
$=\left(\frac{a^2}{a} + \frac{2a}{a} + \frac{1}{a}\right) ÷ \left(\frac{a^2}{a} - \frac{1}{a}\right)$
$=\frac{a^2 + 2a + 1}{a} ÷ \frac{a^2 - 1}{a}$
$=\frac{(a + 1)^2}{a} \cdot \frac{a}{(a + 1)(a - 1)}$
$=\frac{a + 1}{a - 1}$
问题 已知$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{5}(a \neq b)$,求$\frac{a}{b(a - b)} - \frac{b}{a(a - b)}$的值。
名师指导
这是一类条件求值问题,有的条件能够求出单个字母的数值,有的条件则很难求出或无法求出。像本题的条件“$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{5}(a \neq b)$”就不可能分别得出$a$,$b$的值,只能作为整体变形得$\frac{a + b}{ab} = \sqrt{5}或a + b = \sqrt{5}ab$等形式后,代入化简后的代数式求值。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
这是一类条件求值问题,有的条件能够求出单个字母的数值,有的条件则很难求出或无法求出。像本题的条件“$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{5}(a \neq b)$”就不可能分别得出$a$,$b$的值,只能作为整体变形得$\frac{a + b}{ab} = \sqrt{5}或a + b = \sqrt{5}ab$等形式后,代入化简后的代数式求值。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案：解：$\frac{a}{b(a - b)} - \frac{b}{a(a - b)}$
通分，得$\frac{a^2}{ab(a - b)} - \frac{b^2}{ab(a - b)}$
分子相减，得$\frac{a^2 - b^2}{ab(a - b)}$
分解分子，得$\frac{(a + b)(a - b)}{ab(a - b)}$
约分得$\frac{a + b}{ab}$
由已知$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{5}$，通分得$\frac{a + b}{ab} = \sqrt{5}$
故原式$= \sqrt{5}$
$\sqrt{5}$
通分，得$\frac{a^2}{ab(a - b)} - \frac{b^2}{ab(a - b)}$
分子相减，得$\frac{a^2 - b^2}{ab(a - b)}$
分解分子，得$\frac{(a + b)(a - b)}{ab(a - b)}$
约分得$\frac{a + b}{ab}$
由已知$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{5}$，通分得$\frac{a + b}{ab} = \sqrt{5}$
故原式$= \sqrt{5}$
$\sqrt{5}$
1. 化简$\frac{a^2}{a - 1} - (a + 1)$的结果是 (
A.$\frac{1}{a - 1}$
B.$-\frac{1}{a - 1}$
C.$\frac{2a - 1}{a - 1}$
D.$-\frac{2a - 1}{a - 1}$
A
)A.$\frac{1}{a - 1}$
B.$-\frac{1}{a - 1}$
C.$\frac{2a - 1}{a - 1}$
D.$-\frac{2a - 1}{a - 1}$
答案：A
解析：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a - 1} - (a + 1)&=\frac{a^2}{a - 1} - \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}\\&=\frac{a^2 - (a^2 - 1)}{a - 1}\\&=\frac{a^2 - a^2 + 1}{a - 1}\\&=\frac{1}{a - 1}\end{aligned}$
A
A