$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} = -\frac{a - b}{ab}$，
因为$a - b = 2ab$，
所以原式$= -\frac{2ab}{ab} = -2$。
C

$\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y}{x^2 - y^2} = \frac{2x - 2y}{x^2 - y^2} = \frac{2(x - y)}{(x + y)(x - y)} = \frac{2}{x + y}$

$\frac{3}{a - 5} + \frac{A}{5 - a} = 3$
$\frac{3}{a - 5} - \frac{A}{a - 5} = 3$
$\frac{3 - A}{a - 5} = 3$
$3 - A = 3(a - 5)$
$3 - A = 3a - 15$
$-A = 3a - 15 - 3$
$-A = 3a - 18$
$A = 18 - 3a$
$18 - 3a$

解：因为$x + \frac{1}{x} = 3$，
所以$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$，
即$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$，
化简得$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$，
所以$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$。
7

（1）$\frac{m + 2n}{n - m} + \frac{n}{m - n} - \frac{2m}{n - m}$
$=\frac{m + 2n}{n - m} - \frac{n}{n - m} - \frac{2m}{n - m}$
$=\frac{(m + 2n) - n - 2m}{n - m}$
$=\frac{m + 2n - n - 2m}{n - m}$
$=\frac{-m + n}{n - m}$
$=\frac{n - m}{n - m}$
$=1$
（2）$a + 2 - \frac{4}{2 - a}$
$=\frac{(a + 2)(2 - a)}{2 - a} - \frac{4}{2 - a}$
$=\frac{4 - a^2 - 4}{2 - a}$
$=\frac{-a^2}{2 - a}$
$=\frac{a^2}{a - 2}$

原式$=\frac{2x}{x+1}-\frac{2(x+3)}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{(x-1)^2}{x+3}$
$=\frac{2x}{x+1}-\frac{2(x-1)}{x+1}$
$=\frac{2x-2x+2}{x+1}$
$=\frac{2}{x+1}$

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy}$
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$
$x + y = 4$，$xy = 3$，则$x^2 + y^2 = 4^2 - 2×3 = 16 - 6 = 10$
$\frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{10}{3}$
$\frac{10}{3}$

$\begin{aligned}&\frac{2}{x + 3} + \frac{2}{3 - x} + \frac{2x + 18}{x^2 - 9}\\=&\frac{2}{x + 3} - \frac{2}{x - 3} + \frac{2x + 18}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2(x - 3) - 2(x + 3) + 2x + 18}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2x - 6 - 2x - 6 + 2x + 18}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2x + 6}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}\\=&\frac{2}{x - 3}\end{aligned}$
因为结果为整数，所以$x - 3$是$2$的因数，$x - 3 = \pm1, \pm2$，则$x = 4, 2, 5, 1$。
又因为分母不能为$0$，$x + 3 \neq 0$且$x - 3 \neq 0$，即$x \neq -3, 3$，上述$x$值均符合条件。
所有符合条件的$x$值的和为$4 + 2 + 5 + 1 = 12$。
12

设$ f(x)=\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$。
计算$ f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$：
$\begin{aligned}f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)&=\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}+\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^2 - 1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 1}\\&=\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}+\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\\&=\frac{x^2 - 1 + 1 - x^2}{x^2 + 1}\\&=0\end{aligned}$
当$x=-2025$时，$\frac{1}{x}=-\frac{1}{2025}$，但所给取值中无$-\frac{1}{2025}$，故仅考虑正分数倒数对：$(1,\frac{1}{1})$，$(2,\frac{1}{2})$，…，$(2025,\frac{1}{2025})$，其中$x=1$与$\frac{1}{1}=1$为同一值，$f(1)=\frac{1 - 1}{1 + 1}=0$；其余$x=2$与$\frac{1}{2}$，…，$x=2025$与$\frac{1}{2025}$，每对和为$0$。
计算负整数取值：$x=-2025$，$-2024$，…，$-1$，$f(-n)=\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}$（$n=1,2,…,2025$），共2025项。
计算$x=0$时：$f(0)=\frac{0 - 1}{0 + 1}=-1$。
负整数项之和：设$S=\sum_{n=1}^{2025}f(-n)=\sum_{n=1}^{2025}\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}$
正分数项（含1）之和：$0$（因$f(1)=0$及其他倒数对和为0）
总和=负整数项和+正分数项和+$f(0)$
但原取值中负整数与正分数无倒数关系，仅需注意：题目所给取值包含负整数$-2025$到$-1$（2025项）、$0$、正整数1、正分数$\frac{1}{2}$到$\frac{1}{2025}$（2024项）。
其中正分数$\frac{1}{2}$到$\frac{1}{2025}$（2024项）与正整数2到2025（2024项）对应，每对和为0，故这部分和为0；$x=1$时$f(1)=0$；负整数项2025项：$f(-1)=\frac{1 - 1}{1 + 1}=0$，$f(-2)=\frac{4 - 1}{4 + 1}=\frac{3}{5}$，…，$f(-2025)=\frac{2025^2 - 1}{2025^2 + 1}$；$x=0$时$f(0)=-1$。
然而，重新审视题目所给取值：“$x分别取-2025,-2024,-2023,…,-2,-1,0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},…,\frac{1}{2023},\frac{1}{2024},\frac{1}{2025}$”，其中正分数从$\frac{1}{2}$开始，无$\frac{1}{1}$，故正分数为$\frac{1}{2}$到$\frac{1}{2025}$（共2024项），对应正整数$2$到$2025$（但所给取值中无正整数2到2025，仅有$x=1$），因此正分数项无对应正整数项，其和需单独计算，但根据前述$f(x)+f(\frac{1}{x})=0$，此处正分数$\frac{1}{k}$（$k=2,…,2025$）无对应$x=k$（所给取值中$x=k$仅$k=1$），故正分数项和为$\sum_{k=2}^{2025}f(\frac{1}{k})$。
负整数项：$x=-n$（$n=1,…,2025$），和为$\sum_{n=1}^{2025}f(-n)=\sum_{n=1}^{2025}\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}$
$x=0$：$-1$；$x=1$：$0$
但关键发现：所给取值中负整数部分$-2025$到$-1$共2025项，正分数$\frac{1}{2}$到$\frac{1}{2025}$共2024项，$x=0,1$各1项。而唯一能构成和为非零的是$x=0$，$f(0)=-1$，其余所有项中，因正分数无对应正整数，负整数无对应负分数，仅有$x=1$时$f(1)=0$，其余各项正负抵消或单独存在不影响，最终总和仅由$x=0$决定，即$-1$。
A