1. 化简$(x - \frac{1}{y}) ÷ (y - \frac{1}{x})$的结果是 (
A.$1$
B.$\frac{x}{y}$
C.$\frac{y}{x}$
D.$-1$
B
)A.$1$
B.$\frac{x}{y}$
C.$\frac{y}{x}$
D.$-1$
答案：B
解析：
$\begin{aligned}&(x - \frac{1}{y}) ÷ (y - \frac{1}{x})\\=&\left(\frac{xy}{y} - \frac{1}{y}\right) ÷ \left(\frac{xy}{x} - \frac{1}{x}\right)\\=&\frac{xy - 1}{y} ÷ \frac{xy - 1}{x}\\=&\frac{xy - 1}{y} × \frac{x}{xy - 1}\\=&\frac{x}{y}\end{aligned}$
B
B
2. 计算：$\frac{a}{a + 2} - \frac{4}{a^2 + 2a} = $
$\frac{a-2}{a}$
。答案：$\frac{a-2}{a}$
解析：
$\frac{a}{a + 2} - \frac{4}{a^2 + 2a}$
$=\frac{a}{a + 2} - \frac{4}{a(a + 2)}$
$=\frac{a^2}{a(a + 2)} - \frac{4}{a(a + 2)}$
$=\frac{a^2 - 4}{a(a + 2)}$
$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a(a + 2)}$
$=\frac{a - 2}{a}$
$=\frac{a}{a + 2} - \frac{4}{a(a + 2)}$
$=\frac{a^2}{a(a + 2)} - \frac{4}{a(a + 2)}$
$=\frac{a^2 - 4}{a(a + 2)}$
$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a(a + 2)}$
$=\frac{a - 2}{a}$
3. 化简$(ab + b^2) ÷ \frac{a^2 - b^2}{a - b}$的结果是
$b$
。答案：$b$
解析：
$(ab + b^2) ÷ \frac{a^2 - b^2}{a - b}$
$=b(a + b) × \frac{a - b}{(a + b)(a - b)}$
$=b$
$=b(a + b) × \frac{a - b}{(a + b)(a - b)}$
$=b$
4. 计算：
(1)$(\frac{4}{a} - a) ÷ \frac{a + 2}{a}$； (2)$(1 - \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{x - 2}{x^2 - 2x + 1}$。
(1)$(\frac{4}{a} - a) ÷ \frac{a + 2}{a}$； (2)$(1 - \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{x - 2}{x^2 - 2x + 1}$。
答案：（1）$2-a$；（2）$x-1$
解析：
(1) $(\frac{4}{a} - a) ÷ \frac{a + 2}{a}$
$=(\frac{4}{a} - \frac{a^2}{a}) × \frac{a}{a + 2}$
$=\frac{4 - a^2}{a} × \frac{a}{a + 2}$
$=\frac{(2 - a)(2 + a)}{a} × \frac{a}{a + 2}$
$=2 - a$
(2) $(1 - \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{x - 2}{x^2 - 2x + 1}$
$=(\frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}) × \frac{(x - 1)^2}{x - 2}$
$=\frac{x - 2}{x - 1} × \frac{(x - 1)^2}{x - 2}$
$=x - 1$
问题 先化简,再求值：$\frac{a - 4}{a} ÷ (\frac{a + 2}{a^2 - 2a} - \frac{a - 1}{a^2 - 4a + 4})$,其中$a = 2 + \sqrt{2}$。
名师指导
先将括号内通分化简,然后把除法化为乘法,最后代入计算即可。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
先将括号内通分化简,然后把除法化为乘法,最后代入计算即可。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案：解：
首先对括号内两个分式进行通分，因$a^2 - 2a = a(a - 2)$，$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$，故最简公分母为$a(a - 2)^2$。
$\frac{a + 2}{a^2 - 2a} - \frac{a - 1}{a^2 - 4a + 4}$
$= \frac{a + 2}{a(a - 2)} - \frac{a - 1}{(a - 2)^2}$
$= \frac{(a + 2)(a - 2) - a(a - 1)}{a(a - 2)^2}$
$= \frac{a^2 - 4 - a^2 + a}{a(a - 2)^2}$
$= \frac{a - 4}{a(a - 2)^2}$
然后，将原式中的除法转化为乘法，并进行化简：
$\frac{a - 4}{a} ÷ \left( \frac{a - 4}{a(a - 2)^2} \right)$
$= \frac{a - 4}{a} × \frac{a(a - 2)^2}{a - 4}$
$= (a - 2)^2$
最后，代入给定的$a$值进行计算：
当$a = 2 + \sqrt{2}$时，
$(a - 2)^2 = (2 + \sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
故答案为：2。
首先对括号内两个分式进行通分，因$a^2 - 2a = a(a - 2)$，$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$，故最简公分母为$a(a - 2)^2$。
$\frac{a + 2}{a^2 - 2a} - \frac{a - 1}{a^2 - 4a + 4}$
$= \frac{a + 2}{a(a - 2)} - \frac{a - 1}{(a - 2)^2}$
$= \frac{(a + 2)(a - 2) - a(a - 1)}{a(a - 2)^2}$
$= \frac{a^2 - 4 - a^2 + a}{a(a - 2)^2}$
$= \frac{a - 4}{a(a - 2)^2}$
然后，将原式中的除法转化为乘法，并进行化简：
$\frac{a - 4}{a} ÷ \left( \frac{a - 4}{a(a - 2)^2} \right)$
$= \frac{a - 4}{a} × \frac{a(a - 2)^2}{a - 4}$
$= (a - 2)^2$
最后，代入给定的$a$值进行计算：
当$a = 2 + \sqrt{2}$时，
$(a - 2)^2 = (2 + \sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
故答案为：2。
1. 计算$(1 + \frac{1}{a}) ÷ (1 - \frac{1}{a})$的结果为 (
A.$\frac{a + 1}{a - 1}$
B.$\frac{a - 1}{a + 1}$
C.$\frac{a^2 - 1}{a^2}$
D.$\frac{a^2}{a^2 - 1}$
A
)A.$\frac{a + 1}{a - 1}$
B.$\frac{a - 1}{a + 1}$
C.$\frac{a^2 - 1}{a^2}$
D.$\frac{a^2}{a^2 - 1}$
答案：A
解析：
$(1 + \frac{1}{a}) ÷ (1 - \frac{1}{a})$
$=(\frac{a}{a} + \frac{1}{a}) ÷ (\frac{a}{a} - \frac{1}{a})$
$=\frac{a + 1}{a} ÷ \frac{a - 1}{a}$
$=\frac{a + 1}{a} × \frac{a}{a - 1}$
$=\frac{a + 1}{a - 1}$
A
$=(\frac{a}{a} + \frac{1}{a}) ÷ (\frac{a}{a} - \frac{1}{a})$
$=\frac{a + 1}{a} ÷ \frac{a - 1}{a}$
$=\frac{a + 1}{a} × \frac{a}{a - 1}$
$=\frac{a + 1}{a - 1}$
A
2. 如果实数$x$,$y满足方程组\begin{cases}x + 3y = 0, \\ 2x + 3y = 3,\end{cases} 那么代数式(\frac{xy}{x + y} + 2) ÷ \frac{1}{x + y}$的值为______。
答案：1
解析：
解方程组$\begin{cases}x + 3y = 0 \\ 2x + 3y = 3\end{cases}$，
用第二个方程减去第一个方程得：$2x + 3y - (x + 3y) = 3 - 0$，
即$x = 3$，
将$x = 3$代入$x + 3y = 0$，得$3 + 3y = 0$，解得$y = -1$。
化简代数式$(\frac{xy}{x + y} + 2) ÷ \frac{1}{x + y}$，
$\begin{aligned}&(\frac{xy}{x + y} + 2) × (x + y)\\=&\frac{xy}{x + y} × (x + y) + 2 × (x + y)\\=&xy + 2x + 2y\end{aligned}$
将$x = 3$，$y = -1$代入上式，
$xy + 2x + 2y = 3×(-1) + 2×3 + 2×(-1) = -3 + 6 - 2 = 1$。
1
用第二个方程减去第一个方程得：$2x + 3y - (x + 3y) = 3 - 0$，
即$x = 3$，
将$x = 3$代入$x + 3y = 0$，得$3 + 3y = 0$，解得$y = -1$。
化简代数式$(\frac{xy}{x + y} + 2) ÷ \frac{1}{x + y}$，
$\begin{aligned}&(\frac{xy}{x + y} + 2) × (x + y)\\=&\frac{xy}{x + y} × (x + y) + 2 × (x + y)\\=&xy + 2x + 2y\end{aligned}$
将$x = 3$，$y = -1$代入上式，
$xy + 2x + 2y = 3×(-1) + 2×3 + 2×(-1) = -3 + 6 - 2 = 1$。
1