3. 已知：$x^2 + y^2 - 8x - 10y + 41 = 0$,求$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$的值。
答案：$-\frac{9}{20}$
解析：
解：$x^2 + y^2 - 8x - 10y + 41 = 0$
$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25) = 0$
$(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 0$
$\because (x - 4)^2 \geq 0$，$(y - 5)^2 \geq 0$
$\therefore x - 4 = 0$，$y - 5 = 0$
$\therefore x = 4$，$y = 5$
$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{4}{5} - \frac{5}{4} = \frac{16}{20} - \frac{25}{20} = -\frac{9}{20}$
$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25) = 0$
$(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 0$
$\because (x - 4)^2 \geq 0$，$(y - 5)^2 \geq 0$
$\therefore x - 4 = 0$，$y - 5 = 0$
$\therefore x = 4$，$y = 5$
$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{4}{5} - \frac{5}{4} = \frac{16}{20} - \frac{25}{20} = -\frac{9}{20}$
4. 先化简,再选一个合适的$x$的值代入求值：$\frac{x + 3}{x - 2} ÷ (x + 2 - \frac{5}{x - 2})$。
答案：原式$=\frac{x+3}{x-2}÷\frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2}=\frac{x+3}{x-2}÷\frac{x^2-9}{x-2}=\frac{x+3}{x-2}\cdot\frac{x-2}{(x+3)(x-3)}=\frac{1}{x-3}$. 代入求值不唯一
解析：
原式$=\frac{x+3}{x-2}÷\frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2}$
$=\frac{x+3}{x-2}÷\frac{x^2 - 4 - 5}{x-2}$
$=\frac{x+3}{x-2}÷\frac{x^2 - 9}{x-2}$
$=\frac{x+3}{x-2}·\frac{x-2}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{1}{x-3}$。
当$x = 4$时，原式$=\frac{1}{4 - 3}=1$。
$=\frac{x+3}{x-2}÷\frac{x^2 - 4 - 5}{x-2}$
$=\frac{x+3}{x-2}÷\frac{x^2 - 9}{x-2}$
$=\frac{x+3}{x-2}·\frac{x-2}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{1}{x-3}$。
当$x = 4$时，原式$=\frac{1}{4 - 3}=1$。
5. 先化简,再求值：$(x - \frac{3x}{x + 1}) ÷ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 1}$,其中$x^2 + x - 2 = 0$。
答案：2
解析：
$(x - \frac{3x}{x + 1}) ÷ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 1}$
$=(\frac{x(x + 1)}{x + 1} - \frac{3x}{x + 1}) \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2}$
$=\frac{x^2 + x - 3x}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2}$
$=\frac{x^2 - 2x}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2}$
$=\frac{x(x - 2)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2}$
$=x(x + 1)$
$=x^2 + x$
因为$x^2 + x - 2 = 0$，所以$x^2 + x = 2$
原式$=2$
$=(\frac{x(x + 1)}{x + 1} - \frac{3x}{x + 1}) \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2}$
$=\frac{x^2 + x - 3x}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2}$
$=\frac{x^2 - 2x}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2}$
$=\frac{x(x - 2)}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)^2}{x - 2}$
$=x(x + 1)$
$=x^2 + x$
因为$x^2 + x - 2 = 0$，所以$x^2 + x = 2$
原式$=2$
6. 有甲、乙两位采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料,两次购买饲料的单价分别为$a$元/千克、$b$元/千克,且$a \neq b$。两人采购方式不同,甲每次购买$1000$千克,乙每次花去$800$元,而不管买多少饲料。
(1)那么甲所购饲料的平均单价为
(2)试说明谁的购货方式更合算。
(1)那么甲所购饲料的平均单价为
$\frac{a+b}{2}$
元/千克,乙所购饲料的平均单价为$\frac{2ab}{a+b}$
元/千克；(2)试说明谁的购货方式更合算。
$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，故乙合算
答案：（1）$\frac{a+b}{2}$；$\frac{2ab}{a+b}$. （2）$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，故乙合算
解析：
（1）$\frac{a+b}{2}$；$\frac{2ab}{a+b}$.
（2）$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$.
因为$a\neq b$，所以$(a-b)^2＞0$，又因为$a$、$b$为单价，所以$a+b＞0$，则$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$\frac{a+b}{2}＞\frac{2ab}{a+b}$，故乙的购货方式更合算.
（2）$\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$.
因为$a\neq b$，所以$(a-b)^2＞0$，又因为$a$、$b$为单价，所以$a+b＞0$，则$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$\frac{a+b}{2}＞\frac{2ab}{a+b}$，故乙的购货方式更合算.
判断：代数式$(\frac{2a^2 + 2a}{a^2 - 1} - \frac{a^2 - a}{a^2 - 2a + 1}) ÷ \frac{a}{a + 1}的值能否等于-1$？并说明理由。
答案：不能等于$-1$. 理由：原式$=\left[\frac{2a(a+1)}{(a+1)(a-1)}-\frac{a(a-1)}{(a-1)^2}\right]×\frac{a+1}{a}=\frac{a}{a-1}×\frac{a+1}{a}=\frac{a+1}{a-1}$. 当$\frac{a+1}{a-1}=-1$时，解得$a=0$. $\because (a+1)(a-1)\neq0$，$a\neq0$，$\therefore a\neq\pm1,0$，$\therefore$ 代数式$\left(\frac{2a^2+2a}{a^2-1}-\frac{a^2-a}{a^2-2a+1}\right)÷\frac{a}{a+1}$的值不能等于$-1$
解析：
不能等于$-1$. 理由：原式$=\left[\frac{2a(a+1)}{(a+1)(a-1)}-\frac{a(a-1)}{(a-1)^2}\right]×\frac{a+1}{a}=\left(\frac{2a}{a-1}-\frac{a}{a-1}\right)×\frac{a+1}{a}=\frac{a}{a-1}×\frac{a+1}{a}=\frac{a+1}{a-1}$. 当$\frac{a+1}{a-1}=-1$时，解得$a=0$. 由原式可知，$(a+1)(a-1)\neq0$且$a\neq0$，即$a\neq\pm1,0$，故$a=0$是增根，所以代数式的值不能等于$-1$.