3. 当 $ x = $
9
时,分式 $\frac{2}{x - 3}$ 与 $\frac{3}{x}$ 的值相等。答案：9
解析：
根据题意，得$\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x}$
方程两边同乘$x(x - 3)$，得$2x = 3(x - 3)$
去括号，得$2x = 3x - 9$
移项，得$2x - 3x = -9$
合并同类项，得$-x = -9$
系数化为$1$，得$x = 9$
检验：当$x = 9$时，$x(x - 3) = 9×(9 - 3) = 54 ≠ 0$
所以$x = 9$是原分式方程的解
9
方程两边同乘$x(x - 3)$，得$2x = 3(x - 3)$
去括号，得$2x = 3x - 9$
移项，得$2x - 3x = -9$
合并同类项，得$-x = -9$
系数化为$1$，得$x = 9$
检验：当$x = 9$时，$x(x - 3) = 9×(9 - 3) = 54 ≠ 0$
所以$x = 9$是原分式方程的解
9
4. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m^2}{x - 3}$ 无解,则 $ m $ 的值为
±√3
。答案：±√3
解析：
方程两边同乘$(x - 3)$，得$x - 2(x - 3) = m^2$。
化简得$x - 2x + 6 = m^2$，即$-x + 6 = m^2$，解得$x = 6 - m^2$。
因为分式方程无解，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$x = 6 - m^2$，得$3 = 6 - m^2$，$m^2 = 3$，解得$m = \pm \sqrt{3}$。
$\pm \sqrt{3}$
化简得$x - 2x + 6 = m^2$，即$-x + 6 = m^2$，解得$x = 6 - m^2$。
因为分式方程无解，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入$x = 6 - m^2$，得$3 = 6 - m^2$，$m^2 = 3$，解得$m = \pm \sqrt{3}$。
$\pm \sqrt{3}$
问题 若关于 $ x $ 的方程 $\frac{x + m}{x - 3} + \frac{3m}{3 - x} = 3$ 的解为正数,求 $ m $ 的取值范围。
名师指导
先直接解该分式方程,用含 $ m $ 的式子表示 $ x $,再利用解为正数列出不等式,解不等式得出 $ x $ 的取值范围。但要注意当 $ x = 3 $ 时,相应的 $ m $ 的值会导致原方程产生增根,因而需要检验舍去。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
先直接解该分式方程,用含 $ m $ 的式子表示 $ x $,再利用解为正数列出不等式,解不等式得出 $ x $ 的取值范围。但要注意当 $ x = 3 $ 时,相应的 $ m $ 的值会导致原方程产生增根,因而需要检验舍去。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案：解：
去分母，方程两边同乘 $(x - 3)$，得
$x + m - 3m = 3(x - 3)$$ 整理得 $x + m - 3m = 3x - 9$$
$x - 3x = -9 + 2m$$ $-2x = -9 + 2m$$
$x = \frac{9 - 2m}{2}$$ 由题意，方程的解为正数，即 $\frac{9 - 2m}{2} ＞ 0$$
$9 - 2m ＞ 0$$ $m ＜ \frac{9}{2}$$
检验增根：当 $x = 3$ 时，代入 $x = \frac{9 - 2m}{2}$，得
$3 = \frac{9 - 2m}{2}$$ $6 = 9 - 2m$$
$2m = 3$$ $m = \frac{3}{2}$$
因此，当 $m = \frac{3}{2}$ 时，原方程产生增根，需排除。
综上，$m$ 的取值范围为
$m ＜ \frac{9}{2} 且 m \neq \frac{3}{2}$
去分母，方程两边同乘 $(x - 3)$，得
$x + m - 3m = 3(x - 3)$$ 整理得 $x + m - 3m = 3x - 9$$
$x - 3x = -9 + 2m$$ $-2x = -9 + 2m$$
$x = \frac{9 - 2m}{2}$$ 由题意，方程的解为正数，即 $\frac{9 - 2m}{2} ＞ 0$$
$9 - 2m ＞ 0$$ $m ＜ \frac{9}{2}$$
检验增根：当 $x = 3$ 时，代入 $x = \frac{9 - 2m}{2}$，得
$3 = \frac{9 - 2m}{2}$$ $6 = 9 - 2m$$
$2m = 3$$ $m = \frac{3}{2}$$
因此，当 $m = \frac{3}{2}$ 时，原方程产生增根，需排除。
综上，$m$ 的取值范围为
$m ＜ \frac{9}{2} 且 m \neq \frac{3}{2}$
1. 在方程 $\frac{x + 3}{2} - 5 = 0$,$\frac{x}{2 + x} = 3$,$\frac{3}{x + 1} = \frac{4}{x}$,$\frac{x}{\pi} = 2$ 中,分式方程有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：B
解析：
分式方程是分母中含有未知数的方程。
$\frac{x + 3}{2} - 5 = 0$：分母为常数$2$，不是分式方程。
$\frac{x}{2 + x} = 3$：分母为$2 + x$，含有未知数$x$，是分式方程。
$\frac{3}{x + 1} = \frac{4}{x}$：分母分别为$x + 1$和$x$，均含有未知数$x$，是分式方程。
$\frac{x}{\pi} = 2$：分母为常数$\pi$，不是分式方程。
综上，分式方程有$2$个。
B
$\frac{x + 3}{2} - 5 = 0$：分母为常数$2$，不是分式方程。
$\frac{x}{2 + x} = 3$：分母为$2 + x$，含有未知数$x$，是分式方程。
$\frac{3}{x + 1} = \frac{4}{x}$：分母分别为$x + 1$和$x$，均含有未知数$x$，是分式方程。
$\frac{x}{\pi} = 2$：分母为常数$\pi$，不是分式方程。
综上，分式方程有$2$个。
B
2. 解分式方程 $\frac{2}{x - 1} + \frac{x + 2}{1 - x} = 3$ 时,去分母后变形正确的为(
A.$2 + (x + 2) = 3(x - 1)$
B.$2 - x + 2 = 3(x - 1)$
C.$2 - (x + 2) = 3$
D.$2 - (x + 2) = 3(x - 1)$
D
)A.$2 + (x + 2) = 3(x - 1)$
B.$2 - x + 2 = 3(x - 1)$
C.$2 - (x + 2) = 3$
D.$2 - (x + 2) = 3(x - 1)$
答案：D
解析：
解：方程两边同乘$x - 1$，得$2 - (x + 2) = 3(x - 1)$，故选D。
3. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x}{x - 2} = 2 - \frac{m}{2 - x}$ 的解为正数,则满足条件的正整数 $ m $ 的值为(
A.1,2,3
B.1,2
C.1,3
D.2,3
C
)A.1,2,3
B.1,2
C.1,3
D.2,3
答案：C
解析：
方程两边同乘$(x - 2)$，得$x = 2(x - 2) + m$。
去括号，得$x = 2x - 4 + m$。
移项、合并同类项，得$-x = m - 4$，解得$x = 4 - m$。
因为分式方程的解为正数，所以$x ＞ 0$且$x \neq 2$。
即$\begin{cases}4 - m ＞ 0 \\ 4 - m \neq 2\end{cases}$，解得$m ＜ 4$且$m \neq 2$。
又因为$m$为正整数，所以$m = 1, 3$。
C
去括号，得$x = 2x - 4 + m$。
移项、合并同类项，得$-x = m - 4$，解得$x = 4 - m$。
因为分式方程的解为正数，所以$x ＞ 0$且$x \neq 2$。
即$\begin{cases}4 - m ＞ 0 \\ 4 - m \neq 2\end{cases}$，解得$m ＜ 4$且$m \neq 2$。
又因为$m$为正整数，所以$m = 1, 3$。
C
4. 若方程 $\frac{x - 1}{x - 4} = \frac{m}{x - 4}$ 无解,则 $ m = $
3
。答案：3
解析：
方程两边同乘$x - 4$，得$x - 1 = m$，解得$x = m + 1$。
因为方程无解，所以$x - 4 = 0$，即$x = 4$。
将$x = 4$代入$x = m + 1$，得$4 = m + 1$，解得$m = 3$。
$3$
因为方程无解，所以$x - 4 = 0$，即$x = 4$。
将$x = 4$代入$x = m + 1$，得$4 = m + 1$，解得$m = 3$。
$3$
5. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{m}{x - 2} = \frac{1 - x}{2 - x} - 3$ 无解,则实数 $ m $ 的值是
1
。答案：1
解析：
方程两边同乘$(x - 2)$，得$m = x - 1 - 3(x - 2)$。
化简得$m = x - 1 - 3x + 6$，即$m = -2x + 5$，解得$x = \frac{5 - m}{2}$。
因为分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x = \frac{5 - m}{2}$，得$2 = \frac{5 - m}{2}$，解得$m = 1$。
1
化简得$m = x - 1 - 3x + 6$，即$m = -2x + 5$，解得$x = \frac{5 - m}{2}$。
因为分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x = \frac{5 - m}{2}$，得$2 = \frac{5 - m}{2}$，解得$m = 1$。
1