1. 为响应“绿色出行”的号召,小李上班由自驾改为乘坐公交车。已知小李家距上班地点 18 千米,他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾平均每小时行驶的路程少 10 千米。他从家出发到上班地点,乘公交车所用的时间是自驾所用时间的 $\frac{4}{3}$。设小李自驾平均每小时行驶 $ x $ 千米,根据题意可列方程为(
A.$\frac{18}{x + 10} = \frac{18}{x} × \frac{4}{3}$
B.$\frac{18}{x} = \frac{18}{x + 10} × \frac{4}{3}$
C.$\frac{18}{x - 10} = \frac{18}{x} × \frac{4}{3}$
D.$\frac{18}{x} = \frac{18}{x - 10} × \frac{4}{3}$
C
)A.$\frac{18}{x + 10} = \frac{18}{x} × \frac{4}{3}$
B.$\frac{18}{x} = \frac{18}{x + 10} × \frac{4}{3}$
C.$\frac{18}{x - 10} = \frac{18}{x} × \frac{4}{3}$
D.$\frac{18}{x} = \frac{18}{x - 10} × \frac{4}{3}$
答案：C
解析：
设小李自驾平均每小时行驶$x$千米，则乘公交车平均每小时行驶$(x - 10)$千米。
自驾所用时间为$\frac{18}{x}$小时，乘公交车所用时间为$\frac{18}{x - 10}$小时。
依题意，乘公交车所用时间是自驾所用时间的$\frac{4}{3}$，可列方程：$\frac{18}{x - 10} = \frac{18}{x} × \frac{4}{3}$
C
自驾所用时间为$\frac{18}{x}$小时，乘公交车所用时间为$\frac{18}{x - 10}$小时。
依题意，乘公交车所用时间是自驾所用时间的$\frac{4}{3}$，可列方程：$\frac{18}{x - 10} = \frac{18}{x} × \frac{4}{3}$
C
2. 两个连续整数的倒数和为 $\frac{5}{6}$,求这两个整数。设较小整数为 $ x $,那么根据题意可列的方程为(
A.$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{5}{6}$
B.$x + (x + 1) = \frac{6}{5}$
C.$\frac{2}{x + (x + 1)} = \frac{5}{6}$
D.$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} = \frac{5}{6}$
A
)A.$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{5}{6}$
B.$x + (x + 1) = \frac{6}{5}$
C.$\frac{2}{x + (x + 1)} = \frac{5}{6}$
D.$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} = \frac{5}{6}$
答案：A
解析：
设较小整数为$x$，则另一个连续整数为$x + 1$。
它们的倒数分别为$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x + 1}$。
根据两个连续整数的倒数和为$\frac{5}{6}$，可列方程：$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{5}{6}$。
A
它们的倒数分别为$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x + 1}$。
根据两个连续整数的倒数和为$\frac{5}{6}$，可列方程：$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{5}{6}$。
A
3. 甲、乙两队工人完成一项工作,如果两队合作,6 天可以完成；如果单独工作,甲队比乙队少用 5 天。两队单独工作各需几天？
解：设甲队单独工作要 $ x $ 天,那么乙队单独工作要
解：设甲队单独工作要 $ x $ 天,那么乙队单独工作要
x+5
天,甲队的工作效率为1/x
,乙队的工作效率为1/(x+5)
,两队合作一天可以完成工作的1/x + 1/(x+5)
。由题意可以列方程：6(1/x + 1/(x+5))=1
。答案：x+5；1/x；1/(x+5)；1/x + 1/(x+5)；6(1/x + 1/(x+5))=1
解析：
设甲队单独工作要 $ x $ 天，那么乙队单独工作要 $ x+5 $ 天，甲队的工作效率为 $ \frac{1}{x} $，乙队的工作效率为 $ \frac{1}{x+5} $，两队合作一天可以完成工作的 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} $。由题意可以列方程：$ 6\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\right)=1 $。
解方程：
$ 6\left(\frac{x+5 + x}{x(x+5)}\right)=1 $
$ 6\left(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x}\right)=1 $
$ 12x + 30 = x^2 + 5x $
$ x^2 - 7x - 30 = 0 $
$ (x - 10)(x + 3) = 0 $
解得 $ x = 10 $ 或 $ x = -3 $（天数不能为负数，舍去）
则乙队单独工作需要 $ x + 5 = 10 + 5 = 15 $ 天。
甲队单独工作需 10 天，乙队单独工作需 15 天。
解方程：
$ 6\left(\frac{x+5 + x}{x(x+5)}\right)=1 $
$ 6\left(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x}\right)=1 $
$ 12x + 30 = x^2 + 5x $
$ x^2 - 7x - 30 = 0 $
$ (x - 10)(x + 3) = 0 $
解得 $ x = 10 $ 或 $ x = -3 $（天数不能为负数，舍去）
则乙队单独工作需要 $ x + 5 = 10 + 5 = 15 $ 天。
甲队单独工作需 10 天，乙队单独工作需 15 天。
4. 某市为缓解交通拥堵现象,决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路,为使工程能提前 3 个月完成,需将原定的工作效率提高 12%,则原计划完成这项工程用多少个月？
答案：28个
解析：
设原计划完成这项工程用$x$个月，工作总量为单位“1”，则原工作效率为$\frac{1}{x}$。
提高后的工作效率为$\frac{1}{x}(1 + 12\%)=\frac{1.12}{x}$，实际完成工程用的时间为$(x - 3)$个月，实际工作效率也可表示为$\frac{1}{x - 3}$。
依题意可得方程：$\frac{1.12}{x}=\frac{1}{x - 3}$
交叉相乘得：$1.12(x - 3)=x$
展开括号：$1.12x - 3.36=x$
移项：$1.12x - x=3.36$
合并同类项：$0.12x=3.36$
解得：$x = \frac{3.36}{0.12}=28$
28
提高后的工作效率为$\frac{1}{x}(1 + 12\%)=\frac{1.12}{x}$，实际完成工程用的时间为$(x - 3)$个月，实际工作效率也可表示为$\frac{1}{x - 3}$。
依题意可得方程：$\frac{1.12}{x}=\frac{1}{x - 3}$
交叉相乘得：$1.12(x - 3)=x$
展开括号：$1.12x - 3.36=x$
移项：$1.12x - x=3.36$
合并同类项：$0.12x=3.36$
解得：$x = \frac{3.36}{0.12}=28$
28
问题 甲队单独做一项工程刚好如期完成,乙队单独完成这项工程要比预期多用 3 天。若甲、乙两队合作 2 天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成,则规定的工期是多少天？
名师指导
本题的相等关系有两个,“乙队单独完成这项工程要比预期多用 3 天”和“若甲、乙两队合作 2 天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”。考虑到问题要求的是规定的工期,所以根据第二个相等关系来列方程比较直接。因此,设规定的工期是 $ x $ 天,则甲队完成这项工程要 $ x $ 天,再根据第一个相等关系,乙队完成这项工程的天数就可以表示为 $ (x + 3) $ 天。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
本题的相等关系有两个,“乙队单独完成这项工程要比预期多用 3 天”和“若甲、乙两队合作 2 天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”。考虑到问题要求的是规定的工期,所以根据第二个相等关系来列方程比较直接。因此,设规定的工期是 $ x $ 天,则甲队完成这项工程要 $ x $ 天,再根据第一个相等关系,乙队完成这项工程的天数就可以表示为 $ (x + 3) $ 天。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案：设规定的工期是 $ x $ 天，则甲队单独完成需 $ x $ 天，乙队单独完成需 $ (x + 3) $ 天。甲队工作效率为 $ \frac{1}{x} $，乙队工作效率为 $ \frac{1}{x + 3} $。
根据题意，甲、乙合作2天，余下由乙队单独做如期完成，乙队共工作 $ x $ 天，甲队工作2天，总工作量为1，可列方程：
$\frac{2}{x} + \frac{x}{x + 3} = 1$
方程两边同乘 $ x(x + 3) $ 去分母得：
$2(x + 3) + x^2 = x(x + 3)$
展开并化简：
$2x + 6 + x^2 = x^2 + 3x$
$2x + 6 = 3x$
解得 $ x = 6 $。
检验：当 $ x = 6 $ 时，$ x(x + 3) = 6×9 = 54 ≠ 0 $，是原方程的解。
答：规定的工期是6天。
根据题意，甲、乙合作2天，余下由乙队单独做如期完成，乙队共工作 $ x $ 天，甲队工作2天，总工作量为1，可列方程：
$\frac{2}{x} + \frac{x}{x + 3} = 1$
方程两边同乘 $ x(x + 3) $ 去分母得：
$2(x + 3) + x^2 = x(x + 3)$
展开并化简：
$2x + 6 + x^2 = x^2 + 3x$
$2x + 6 = 3x$
解得 $ x = 6 $。
检验：当 $ x = 6 $ 时，$ x(x + 3) = 6×9 = 54 ≠ 0 $，是原方程的解。
答：规定的工期是6天。