1. 使分式$\frac{1}{x - 1}有意义的x$的取值范围是(
A.$x \neq 1$
B.$x \neq -1$
C.$x ＜ 1$
D.$x ＞ 1$
A
)A.$x \neq 1$
B.$x \neq -1$
C.$x ＜ 1$
D.$x ＞ 1$
答案：A
解析：
要使分式$\frac{1}{x - 1}$有意义，则分母不能为$0$，即$x - 1 \neq 0$，解得$x \neq 1$。
A
A
2. 用科学记数法表示$0.00608$的结果是(
A.$6.08 × 10^{-3}$
B.$6.08 × 10^{-4}$
C.$0.608 × 10^{-3}$
D.$0.608 × 10^{-2}$
A
)A.$6.08 × 10^{-3}$
B.$6.08 × 10^{-4}$
C.$0.608 × 10^{-3}$
D.$0.608 × 10^{-2}$
答案：A
解析：
科学记数法的表示形式为$a×10^{n}$，其中$1\leq\vert a\vert\lt10$，$n$为整数。对于$0.00608$，将小数点向右移动$3$位得到$6.08$，此时$n=-3$，所以$0.00608=6.08×10^{-3}$。
A
A
3. 满足方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x - 2}的x$的值是(
A.$1$
B.$2$
C.$0$
D.$-1$
C
)A.$1$
B.$2$
C.$0$
D.$-1$
答案：C
解析：
方程两边同乘$(x - 1)(x - 2)$，得$x - 2 = 2(x - 1)$。
展开右边得$x - 2 = 2x - 2$。
移项得$x - 2x = -2 + 2$。
合并同类项得$-x = 0$，解得$x = 0$。
检验：当$x = 0$时，$(x - 1)(x - 2) = (-1)×(-2) = 2 ≠ 0$，所以$x = 0$是原方程的解。
C
展开右边得$x - 2 = 2x - 2$。
移项得$x - 2x = -2 + 2$。
合并同类项得$-x = 0$，解得$x = 0$。
检验：当$x = 0$时，$(x - 1)(x - 2) = (-1)×(-2) = 2 ≠ 0$，所以$x = 0$是原方程的解。
C
4. 分式方程$\frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{2 - x} = 1$的解为(
A.$1$
B.$2$
C.$\frac{1}{3}$
D.$0$
A
)A.$1$
B.$2$
C.$\frac{1}{3}$
D.$0$
答案：A
解析：
方程两边同乘$x - 2$，得$2 - 3x = x - 2$，
移项、合并同类项，得$-4x = -4$，
解得$x = 1$，
检验：当$x = 1$时，$x - 2 = -1 \neq 0$，
所以原分式方程的解为$x = 1$。
A
移项、合并同类项，得$-4x = -4$，
解得$x = 1$，
检验：当$x = 1$时，$x - 2 = -1 \neq 0$，
所以原分式方程的解为$x = 1$。
A
5. 下列分式中,属于最简分式的是(
A.$\frac{4}{2x}$
B.$\frac{x - 1}{x^2 - 1}$
C.$\frac{2x}{x^2 + 1}$
D.$\frac{1 - x}{x - 1}$
C
)A.$\frac{4}{2x}$
B.$\frac{x - 1}{x^2 - 1}$
C.$\frac{2x}{x^2 + 1}$
D.$\frac{1 - x}{x - 1}$
答案：C
解析：
A. $\frac{4}{2x}=\frac{2}{x}$，不是最简分式；
B. $\frac{x - 1}{x^2 - 1}=\frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{1}{x + 1}$，不是最简分式；
C. $\frac{2x}{x^2 + 1}$，分子分母没有公因式，是最简分式；
D. $\frac{1 - x}{x - 1}=-\frac{x - 1}{x - 1}=-1$，不是最简分式。
答案：C
B. $\frac{x - 1}{x^2 - 1}=\frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}=\frac{1}{x + 1}$，不是最简分式；
C. $\frac{2x}{x^2 + 1}$，分子分母没有公因式，是最简分式；
D. $\frac{1 - x}{x - 1}=-\frac{x - 1}{x - 1}=-1$，不是最简分式。
答案：C
6. 《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十,粝米三十···”(粟指带壳的谷子,粝米指糙米,其意为：“50 单位的粟,可换得 30 单位的粝米······”问题：有 3 斗的粟(1 斗 = 10 升),若按照此“粟米之法”,则可以换得的粝米为(
A.$6$升
B.$8$升
C.$16$升
D.$18$升
D
)A.$6$升
B.$8$升
C.$16$升
D.$18$升
答案：D
解析：
3斗=30升
设可换得粝米$x$升
$\frac{50}{30}=\frac{30}{x}$
$50x=30×30$
$50x=900$
$x=18$
D
设可换得粝米$x$升
$\frac{50}{30}=\frac{30}{x}$
$50x=30×30$
$50x=900$
$x=18$
D
7. 若关于$x的分式方程\frac{2x - a}{x - 2} = \frac{1}{2}$的解为非负数,则$a$的取值范围是(
A.$a \geq 1$
B.$a ＞ 1$
C.$a \geq 1且a \neq 4$
D.$a ＞ 1且a \neq 4$
C
)A.$a \geq 1$
B.$a ＞ 1$
C.$a \geq 1且a \neq 4$
D.$a ＞ 1且a \neq 4$
答案：C
解析：
去分母，得$2(2x - a) = x - 2$，
去括号，得$4x - 2a = x - 2$，
移项、合并同类项，得$3x = 2a - 2$，
解得$x = \frac{2a - 2}{3}$，
因为方程的解为非负数，所以$\frac{2a - 2}{3} \geq 0$，解得$a \geq 1$，
又因为分母不能为$0$，即$x - 2 \neq 0$，所以$\frac{2a - 2}{3} - 2 \neq 0$，解得$a \neq 4$，
综上，$a$的取值范围是$a \geq 1$且$a \neq 4$。
C
去括号，得$4x - 2a = x - 2$，
移项、合并同类项，得$3x = 2a - 2$，
解得$x = \frac{2a - 2}{3}$，
因为方程的解为非负数，所以$\frac{2a - 2}{3} \geq 0$，解得$a \geq 1$，
又因为分母不能为$0$，即$x - 2 \neq 0$，所以$\frac{2a - 2}{3} - 2 \neq 0$，解得$a \neq 4$，
综上，$a$的取值范围是$a \geq 1$且$a \neq 4$。
C
8. 对于实数$a$,$b$,定义一种新运算“$\otimes$”为：$a \otimes b = \frac{1}{a - b^2}$,这里等式右边是实数运算. 例如：$1 \otimes 3 = \frac{1}{1 - 3^2} = -\frac{1}{8}$,则方程$x \otimes (-2) = \frac{2}{x - 4} - 1$的解是(
A.$x = 4$
B.$x = 5$
C.$x = 6$
D.$x = 7$
B
)A.$x = 4$
B.$x = 5$
C.$x = 6$
D.$x = 7$
答案：B
解析：
由新运算定义，$x \otimes (-2)=\frac{1}{x - (-2)^2}=\frac{1}{x - 4}$。
方程可化为：$\frac{1}{x - 4}=\frac{2}{x - 4}-1$
两边同乘$x - 4$（$x \neq 4$）：$1 = 2 - (x - 4)$
化简得：$1 = 2 - x + 4$
$1 = 6 - x$
解得：$x = 5$
经检验，$x = 5$是原方程的解。
B
方程可化为：$\frac{1}{x - 4}=\frac{2}{x - 4}-1$
两边同乘$x - 4$（$x \neq 4$）：$1 = 2 - (x - 4)$
化简得：$1 = 2 - x + 4$
$1 = 6 - x$
解得：$x = 5$
经检验，$x = 5$是原方程的解。
B
9. 当$x$
$\neq \dfrac{1}{3}$
时,分式$\frac{x + 1}{3x - 1}$有意义.答案：$\neq \dfrac{1}{3}$
10. 计算：$\frac{n + 1}{n} ÷ \frac{m + 1}{mn} = $
$\dfrac{mn+m}{m+1}$
.答案：$\dfrac{mn+m}{m+1}$
解析：
$\dfrac{n + 1}{n} ÷ \dfrac{m + 1}{mn} = \dfrac{n + 1}{n} × \dfrac{mn}{m + 1} = \dfrac{m(n + 1)}{m + 1} = \dfrac{mn + m}{m + 1}$
11. 已知$a^2 - 4a + b^2 + 2b + 5 = 0$,那么$a^b$的值是
$\dfrac{1}{2}$
.答案：$\dfrac{1}{2}$
解析：
$a^2 - 4a + b^2 + 2b + 5 = 0$，
$a^2 - 4a + 4 + b^2 + 2b + 1 = 0$，
$(a - 2)^2 + (b + 1)^2 = 0$，
因为$(a - 2)^2 \geq 0$，$(b + 1)^2 \geq 0$，
所以$a - 2 = 0$，$b + 1 = 0$，
解得$a = 2$，$b = -1$，
则$a^b = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$。
$\dfrac{1}{2}$
$a^2 - 4a + 4 + b^2 + 2b + 1 = 0$，
$(a - 2)^2 + (b + 1)^2 = 0$，
因为$(a - 2)^2 \geq 0$，$(b + 1)^2 \geq 0$，
所以$a - 2 = 0$，$b + 1 = 0$，
解得$a = 2$，$b = -1$，
则$a^b = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$。
$\dfrac{1}{2}$
12. 化简：$\frac{x^3 - 2x^2y}{x^2y - 2xy^2} = $
$\dfrac{x}{y}$
.答案：$\dfrac{x}{y}$
解析：
$\dfrac{x^3 - 2x^2y}{x^2y - 2xy^2}$
$=\dfrac{x^2(x - 2y)}{xy(x - 2y)}$
$=\dfrac{x}{y}$
$=\dfrac{x^2(x - 2y)}{xy(x - 2y)}$
$=\dfrac{x}{y}$
13. 已知 A,B 两地相距$200$km,一辆汽车从 A 地到 B 地的速度比原来提高了$25\%$,结果比原来提前$0.5$h 到达,这辆汽车原来的速度是
80
km/h.答案：80
解析：
设这辆汽车原来的速度是$x$km/h，提高后的速度为$(1 + 25\%)x = 1.25x$km/h。
根据时间=路程÷速度，原来从A地到B地所需时间为$\frac{200}{x}$h，提速后所需时间为$\frac{200}{1.25x}$h。
已知提速后比原来提前$0.5$h到达，可列方程：
$\frac{200}{x}-\frac{200}{1.25x}=0.5$
方程两边同乘$1.25x$得：
$200×1.25 - 200 = 0.5×1.25x$
$250 - 200 = 0.625x$
$50 = 0.625x$
解得$x = 80$
经检验，$x = 80$是原方程的解，且符合题意。
80
根据时间=路程÷速度，原来从A地到B地所需时间为$\frac{200}{x}$h，提速后所需时间为$\frac{200}{1.25x}$h。
已知提速后比原来提前$0.5$h到达，可列方程：
$\frac{200}{x}-\frac{200}{1.25x}=0.5$
方程两边同乘$1.25x$得：
$200×1.25 - 200 = 0.5×1.25x$
$250 - 200 = 0.625x$
$50 = 0.625x$
解得$x = 80$
经检验，$x = 80$是原方程的解，且符合题意。
80