解分式方程$\frac{a}{x + 1} - 3 = \frac{1 - x}{x + 1}$，方程两边同乘$x + 1$得：$a - 3(x + 1) = 1 - x$，解得$x = \frac{a - 4}{2}$。
因为分式方程有负分数解，所以$\frac{a - 4}{2} ＜ 0$且$\frac{a - 4}{2} \neq -1$，即$a ＜ 4$且$a \neq 2$，且$\frac{a - 4}{2}$为分数，所以$a$为奇数。
解不等式组$\begin{cases}2(a - x) \geq -x - 4 \\ \frac{3x + 4}{2} ＜ x + 1\end{cases}$，解第一个不等式得$x \leq 2a + 4$，解第二个不等式得$x ＜ -2$。因为不等式组解集为$x ＜ -2$，所以$2a + 4 \geq -2$，即$a \geq -3$。
综上，整数$a$的值为$-3$，$-1$，$1$，$3$，积为$(-3)×(-1)×1×3 = 9$。
9

（1）$2025^0 - 2^2 + (\frac{1}{3})^{-1} = 1 - 4 + 3 = 0$；
（2）$(\frac{y}{6x^2})^2 ÷ (-\frac{y^2}{4x})^2 = \frac{y^2}{36x^4} ÷ \frac{y^4}{16x^2} = \frac{y^2}{36x^4} \cdot \frac{16x^2}{y^4} = \frac{4}{9x^2y^2}$；
（3）$\frac{6}{x^2 - 9} + \frac{1}{x + 3} = \frac{6}{(x + 3)(x - 3)} + \frac{x - 3}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{6 + x - 3}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{x + 3}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{1}{x - 3}$。

$\begin{aligned}&\frac{m^2}{m^2 + 2m + 1} ÷ (1 - \frac{1}{m + 1})\\=&\frac{m^2}{(m + 1)^2} ÷ (\frac{m + 1}{m + 1} - \frac{1}{m + 1})\\=&\frac{m^2}{(m + 1)^2} ÷ \frac{m}{m + 1}\\=&\frac{m^2}{(m + 1)^2} × \frac{m + 1}{m}\\=&\frac{m}{m + 1}\end{aligned}$

（1）解：$\frac{3 - x}{x - 4} - \frac{1}{4 - x} = 1$
去分母，得$3 - x + 1 = x - 4$
移项、合并同类项，得$-2x = -8$
解得$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$x - 4 = 0$
$\therefore x = 4$不是原分式方程的解，原分式方程无解
（2）解：$\frac{3}{x - 2} - \frac{8}{x^2 - 4} = \frac{1}{x + 2}$
去分母，得$3(x + 2) - 8 = x - 2$
去括号，得$3x + 6 - 8 = x - 2$
移项、合并同类项，得$2x = 0$
解得$x = 0$
检验：当$x = 0$时，$(x - 2)(x + 2) = -4 \neq 0$
$\therefore x = 0$是原分式方程的解

原式$=\left(\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{5}{x+2}\right)÷ \dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$
$=\dfrac{x+2-5}{x+2}÷ \dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}$
$=\dfrac{x-3}{x+2}\cdot \dfrac{x+3}{(x+3)(x-3)}$
$=\dfrac{1}{x+2}$