20. (8 分)2022 年,中国元素闪耀卡塔尔世界杯,特别是中国承建的大型基建项目卢赛尔体育场,是目前全球技术最先进的世界杯主场馆. 它的整体外形呈马鞍状,外幕墙是铜色圆形玻璃,配上内部灯光,使得它在夜间格外璀璨,像极了沙漠中的一只“金碗”. 该外幕墙的搭建由甲、乙两个工程队联合承揽. 若两队一起搭建了 5 个月后,剩下的部分由甲队单独搭建,则还需 1 个月.
(1)若甲队单独搭建需要 12 个月,则乙队单独搭建需要多少时间？
(2)若甲队单独搭建的时间为$a$个月($6 ＜ a ＜ 11$),则甲、乙两队谁的施工速度快？为什么？
(1)若甲队单独搭建需要 12 个月,则乙队单独搭建需要多少时间？
(2)若甲队单独搭建的时间为$a$个月($6 ＜ a ＜ 11$),则甲、乙两队谁的施工速度快？为什么？
答案：（1）设乙队单独搭建需要$x$个月，根据题意可得：$\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{12}\right)× 5+\dfrac{1}{12}=1$，解得$x=10$. 经检验，$x=10$是原方程的解. 答：乙队单独搭建需要10个月. （2）甲队的施工速度快，理由如下：设乙队单独搭建需要$b$个月，根据题意可得：$\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)× 5+\dfrac{1}{a}=1$，解得$b=\dfrac{5a}{a-6}$. $\because 6\lt a\lt 11$，$\therefore 0\lt a-6\lt 5$，$\therefore \dfrac{1}{a-6}\gt \dfrac{1}{5}$，$\therefore b=\dfrac{5a}{a-6}\gt a$，即甲队的施工速度快
21. (10 分)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用 13200 元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求. 商家又用 28800 元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进数量的 2 倍,但单价贵了 10 元.
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下 50 件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润率不低于$25\%$(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元？
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下 50 件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润率不低于$25\%$(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元？
答案：（1）设该商家购进的第一批衬衫是$x$件，则第二批衬衫是$2x$件，得$\dfrac{28800}{2x}-\dfrac{13200}{x}=10$，解得$x=120$. 经检验，$x=120$是原方程的解. （2）设每件衬衫的标价是$a$元，由（1）得第一批的进价为：$13200÷ 120=110$（元/件），第二批的进价为：$110+10=120$（元/件），由题意可得：$120×(a-110)+(240-50)×(a-120)+50×(0.8a-120)\geqslant 25\%×(13200+28800)$，解得$350a\geqslant 52500$，所以$a\geqslant 150$，即每件衬衫的标价至少是150元. 答：（1）第一批衬衫为120件；（2）每件衬衫的标价至少为150元
解析：
（1）设该商家购进的第一批衬衫是$x$件，则第二批衬衫是$2x$件，根据题意得：$\dfrac{28800}{2x}-\dfrac{13200}{x}=10$，解得$x=120$，经检验，$x=120$是原方程的解，答：该商家购进的第一批衬衫是120件；
（2）由（1）知，第一批衬衫的进价为$\dfrac{13200}{120}=110$元/件，第二批衬衫的进价为$110 + 10=120$元/件，两批衬衫的总数量为$120+2×120 = 360$件，设每件衬衫的标价是$a$元，根据题意得：$120(a - 110)+(360 - 50)(a - 120)+50(0.8a - 120)\geqslant25\%×(13200 + 28800)$，解得$a\geqslant150$，答：每件衬衫的标价至少是150元.
（2）由（1）知，第一批衬衫的进价为$\dfrac{13200}{120}=110$元/件，第二批衬衫的进价为$110 + 10=120$元/件，两批衬衫的总数量为$120+2×120 = 360$件，设每件衬衫的标价是$a$元，根据题意得：$120(a - 110)+(360 - 50)(a - 120)+50(0.8a - 120)\geqslant25\%×(13200 + 28800)$，解得$a\geqslant150$，答：每件衬衫的标价至少是150元.