1. 现有长度分别为 $2\mathrm{cm}$,$3\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}$,$5\mathrm{cm}$ 的木棒,从中任取三根,能组成三角形的个数为(
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
C
)A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案：C
解析：
从四根木棒中任取三根，所有可能的组合为：
1. $2\mathrm{cm},3\mathrm{cm},4\mathrm{cm}$：$2 + 3 ＞ 4$，$2 + 4 ＞ 3$，$3 + 4 ＞ 2$，能组成三角形；
2. $2\mathrm{cm},3\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$2 + 3 = 5$，不能组成三角形；
3. $2\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$2 + 4 ＞ 5$，$2 + 5 ＞ 4$，$4 + 5 ＞ 2$，能组成三角形；
4. $3\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$3 + 4 ＞ 5$，$3 + 5 ＞ 4$，$4 + 5 ＞ 3$，能组成三角形。
能组成三角形的个数为$3$。
C
1. $2\mathrm{cm},3\mathrm{cm},4\mathrm{cm}$：$2 + 3 ＞ 4$，$2 + 4 ＞ 3$，$3 + 4 ＞ 2$，能组成三角形；
2. $2\mathrm{cm},3\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$2 + 3 = 5$，不能组成三角形；
3. $2\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$2 + 4 ＞ 5$，$2 + 5 ＞ 4$，$4 + 5 ＞ 2$，能组成三角形；
4. $3\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$3 + 4 ＞ 5$，$3 + 5 ＞ 4$，$4 + 5 ＞ 3$，能组成三角形。
能组成三角形的个数为$3$。
C
2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 40^{\circ}$,点 $D$ 是 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的角平分线的交点,则 $\angle BDC$ 的度数为(
A.$80^{\circ}$
B.$140^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
C
)A.$80^{\circ}$
B.$140^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案：C
解析：
解：在$\triangle ABC$中，$\angle A = 40°$，
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180° - \angle A = 180° - 40° = 140°$。
$\because$点$D$是$\angle ABC$和$\angle ACB$的角平分线的交点，
$\therefore \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle DCB = \frac{1}{2}\angle ACB$，
$\therefore \angle DBC + \angle DCB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = \frac{1}{2} × 140° = 70°$。
在$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 180° - (\angle DBC + \angle DCB) = 180° - 70° = 110°$。
C
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180° - \angle A = 180° - 40° = 140°$。
$\because$点$D$是$\angle ABC$和$\angle ACB$的角平分线的交点，
$\therefore \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle DCB = \frac{1}{2}\angle ACB$，
$\therefore \angle DBC + \angle DCB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = \frac{1}{2} × 140° = 70°$。
在$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 180° - (\angle DBC + \angle DCB) = 180° - 70° = 110°$。
C
3. 长度分别为 $a$,$2$,$4$ 的三条线段能组成一个三角形,则 $a$ 的值可能是(
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$6$
C
)A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$6$
答案：C
解析：
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
可得：$4 - 2 ＜ a ＜ 4 + 2$，即$2 ＜ a ＜ 6$。
选项中满足$2 ＜ a ＜ 6$的是$3$。
C
可得：$4 - 2 ＜ a ＜ 4 + 2$，即$2 ＜ a ＜ 6$。
选项中满足$2 ＜ a ＜ 6$的是$3$。
C
4. 一副三角板有两个直角三角形,如图叠放在一起,则 $\angle \alpha$ 的度数是(
A.$165^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$135^{\circ}$
A
)A.$165^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$135^{\circ}$
答案：A
解析：
解：在含$30°$角的直角三角形中，另一个锐角为$60°$。
叠放后，$60°$角与$45°$角所在三角形的第三个角为$180° - 60° - 45° = 75°$。
$\angle\alpha$与该$75°$角互补，故$\angle\alpha = 180° - 75° = 105°$。（注：此处原解析思路有误，正确计算应为：含$30°$角的直角三角形中，$30°$角的余角为$60°$，$\angle\alpha$的邻补角为$60° - 45° = 15°$，所以$\angle\alpha = 180° - 15° = 165°$）
$\angle\alpha = 165°$
A
叠放后，$60°$角与$45°$角所在三角形的第三个角为$180° - 60° - 45° = 75°$。
$\angle\alpha$与该$75°$角互补，故$\angle\alpha = 180° - 75° = 105°$。（注：此处原解析思路有误，正确计算应为：含$30°$角的直角三角形中，$30°$角的余角为$60°$，$\angle\alpha$的邻补角为$60° - 45° = 15°$，所以$\angle\alpha = 180° - 15° = 165°$）
$\angle\alpha = 165°$
A
5. 在等腰 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,其周长为 $20\mathrm{cm}$,则 $AB$ 边的取值范围是(
A.$1\mathrm{cm} \lt AB \lt 4\mathrm{cm}$
B.$5\mathrm{cm} \lt AB \lt 10\mathrm{cm}$
C.$4\mathrm{cm} \lt AB \lt 8\mathrm{cm}$
D.$4\mathrm{cm} \lt AB \lt 10\mathrm{cm}$
B
)A.$1\mathrm{cm} \lt AB \lt 4\mathrm{cm}$
B.$5\mathrm{cm} \lt AB \lt 10\mathrm{cm}$
C.$4\mathrm{cm} \lt AB \lt 8\mathrm{cm}$
D.$4\mathrm{cm} \lt AB \lt 10\mathrm{cm}$
答案：B
解析：
设$AB = AC = x\mathrm{cm}$，则$BC=(20 - 2x)\mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系：
1. $AB + AC ＞ BC$，即$x + x ＞ 20 - 2x$，解得$x ＞ 5$；
2. $AB + BC ＞ AC$，即$x + (20 - 2x) ＞ x$，解得$x ＜ 10$；
3. $AC + BC ＞ AB$，即$x + (20 - 2x) ＞ x$，解得$x ＜ 10$。
综上，$5\mathrm{cm} ＜ AB ＜ 10\mathrm{cm}$。
B
根据三角形三边关系：
1. $AB + AC ＞ BC$，即$x + x ＞ 20 - 2x$，解得$x ＞ 5$；
2. $AB + BC ＞ AC$，即$x + (20 - 2x) ＞ x$，解得$x ＜ 10$；
3. $AC + BC ＞ AB$，即$x + (20 - 2x) ＞ x$，解得$x ＜ 10$。
综上，$5\mathrm{cm} ＜ AB ＜ 10\mathrm{cm}$。
B
6. 一个三角形的两个内角分别是 $55^{\circ}$和 $65^{\circ}$,则这个三角形的外角不可能是(
A.$115^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$130^{\circ}$
D
)A.$115^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$130^{\circ}$
答案：D
解析：
三角形内角和为$180^{\circ}$，第三个内角为$180^{\circ}-55^{\circ}-65^{\circ}=60^{\circ}$。
三角形外角等于不相邻两内角之和，三个外角分别为：
$55^{\circ}+65^{\circ}=120^{\circ}$，
$55^{\circ}+60^{\circ}=115^{\circ}$，
$65^{\circ}+60^{\circ}=125^{\circ}$。
故外角不可能是$130^{\circ}$。
D
三角形外角等于不相邻两内角之和，三个外角分别为：
$55^{\circ}+65^{\circ}=120^{\circ}$，
$55^{\circ}+60^{\circ}=115^{\circ}$，
$65^{\circ}+60^{\circ}=125^{\circ}$。
故外角不可能是$130^{\circ}$。
D
7. 已知 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{3}\angle C$,则 $\triangle ABC$ 为(
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
A
)A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案：A
解析：
设$\angle A = x$，则$\angle B = 2x$，$\angle C = 3x$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 2x + 3x = 180°$，
$6x = 180°$，解得$x = 30°$。
$\angle C = 3x = 90°$，
所以$\triangle ABC$为直角三角形。
A
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 2x + 3x = 180°$，
$6x = 180°$，解得$x = 30°$。
$\angle C = 3x = 90°$，
所以$\triangle ABC$为直角三角形。
A
8. 一个三角形三个内角的度数之比为 $2:3:7$,这个三角形一定是(
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
D
)A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案：D
解析：
设三角形三个内角的度数分别为$2x$，$3x$，$7x$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$2x + 3x + 7x = 180°$，
解得$12x = 180°$，$x = 15°$。
则三个内角的度数分别为：$2x = 30°$，$3x = 45°$，$7x = 105°$。
因为$105° ＞ 90°$，所以这个三角形是钝角三角形。
D
因为三角形内角和为$180°$，所以$2x + 3x + 7x = 180°$，
解得$12x = 180°$，$x = 15°$。
则三个内角的度数分别为：$2x = 30°$，$3x = 45°$，$7x = 105°$。
因为$105° ＞ 90°$，所以这个三角形是钝角三角形。
D
9. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 2\mathrm{cm}$,$BC = 4\mathrm{cm}$,则 $AC$ 的取值范围是
2 cm＜AC＜6 cm
。答案：2 cm＜AC＜6 cm
解析：
在$\triangle ABC$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。已知$AB = 2\mathrm{cm}$，$BC = 4\mathrm{cm}$，则$BC - AB ＜ AC ＜ BC + AB$，即$4 - 2 ＜ AC ＜ 4 + 2$，所以$2\mathrm{cm} ＜ AC ＜ 6\mathrm{cm}$。
$2\mathrm{cm} ＜ AC ＜ 6\mathrm{cm}$
$2\mathrm{cm} ＜ AC ＜ 6\mathrm{cm}$
10. 如图,$AB // CD$,$CE$ 平分 $\angle ACD$,并且交 $AB$ 于点 $E$,$\angle A = 118^{\circ}$,则 $\angle AEC$ 等于
31°
。答案：31°
解析：
解：
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle A + \angle ACD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $\angle A = 118°$，
∴ $\angle ACD = 180° - 118° = 62°$。
∵ $CE$ 平分 $\angle ACD$，
∴ $\angle DCE = \frac{1}{2}\angle ACD = \frac{1}{2} × 62° = 31°$。
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle AEC = \angle DCE = 31°$（两直线平行，内错角相等）。
31°
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle A + \angle ACD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $\angle A = 118°$，
∴ $\angle ACD = 180° - 118° = 62°$。
∵ $CE$ 平分 $\angle ACD$，
∴ $\angle DCE = \frac{1}{2}\angle ACD = \frac{1}{2} × 62° = 31°$。
∵ $AB // CD$，
∴ $\angle AEC = \angle DCE = 31°$（两直线平行，内错角相等）。
31°
11. 将一副三角板按如图所示的方式放置,使含 $30^{\circ}$ 角的三角板的短直角边和含 $45^{\circ}$ 角的三角板的一条直角边重合,则 $\angle 1$ 的度数是
75°
。答案：75°
解析：
解：由题意知，含$30^{\circ}$角的三角板中，另一个锐角为$60^{\circ}$；含$45^{\circ}$角的三角板中，两个锐角均为$45^{\circ}$。
两三角板重合的直角边构成的三角形中，与$\angle 1$互补的角为$60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$。
所以$\angle 1 = 180^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$。
75°
两三角板重合的直角边构成的三角形中，与$\angle 1$互补的角为$60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$。
所以$\angle 1 = 180^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$。
75°