12. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 50^{\circ}$,则 $AB$,$AC$ 边上的高所在直线所夹的锐角为
50
度。答案：50
13. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 35^{\circ}$,$\angle C = 60^{\circ}$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,$DE // BC$ 交 $AB$ 于点 $E$,则 $\angle BDE = $
42.5
$^{\circ}$,$\angle BDC = $______77.5
$^{\circ}$。答案：42.5,77.5
解析：
解：在$\triangle ABC$中，$\angle A=35^{\circ}$，$\angle C=60^{\circ}$，
$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle C=180^{\circ}-35^{\circ}-60^{\circ}=85^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×85^{\circ}=42.5^{\circ}$。
因为$DE// BC$，
所以$\angle BDE=\angle DBC=42.5^{\circ}$。
在$\triangle BDC$中，$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle C=180^{\circ}-42.5^{\circ}-60^{\circ}=77.5^{\circ}$。
$42.5$，$77.5$
$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle C=180^{\circ}-35^{\circ}-60^{\circ}=85^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}×85^{\circ}=42.5^{\circ}$。
因为$DE// BC$，
所以$\angle BDE=\angle DBC=42.5^{\circ}$。
在$\triangle BDC$中，$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle C=180^{\circ}-42.5^{\circ}-60^{\circ}=77.5^{\circ}$。
$42.5$，$77.5$
14. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 80^{\circ}$,$\angle ABC$,$\angle ACB$ 的外角平分线交于点 $D$,那么 $\angle BDC = $
50°
。答案：50°
解析：
证明：在$\triangle ABC$中，$\angle A = 80°$，
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180° - \angle A = 100°$，
$\therefore \angle ABC$的外角$= 180° - \angle ABC$，$\angle ACB$的外角$= 180° - \angle ACB$，
$\therefore \angle ABC$的外角$+ \angle ACB$的外角$= 360° - (\angle ABC + \angle ACB) = 260°$，
$\because BD$、$CD$分别平分$\angle ABC$、$\angle ACB$的外角，
$\therefore \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC$的外角，$\angle DCB = \frac{1}{2}\angle ACB$的外角，
$\therefore \angle DBC + \angle DCB = \frac{1}{2}(\angle ABC$的外角$+ \angle ACB$的外角$) = 130°$，
在$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 180° - (\angle DBC + \angle DCB) = 50°$。
$50°$
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180° - \angle A = 100°$，
$\therefore \angle ABC$的外角$= 180° - \angle ABC$，$\angle ACB$的外角$= 180° - \angle ACB$，
$\therefore \angle ABC$的外角$+ \angle ACB$的外角$= 360° - (\angle ABC + \angle ACB) = 260°$，
$\because BD$、$CD$分别平分$\angle ABC$、$\angle ACB$的外角，
$\therefore \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC$的外角，$\angle DCB = \frac{1}{2}\angle ACB$的外角，
$\therefore \angle DBC + \angle DCB = \frac{1}{2}(\angle ABC$的外角$+ \angle ACB$的外角$) = 130°$，
在$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 180° - (\angle DBC + \angle DCB) = 50°$。
$50°$
15. 等腰三角形的两边长分别为 $3$ 和 $5$,其周长为
11或13
。答案：11或13
解析：
情况一：腰长为3，底边长为5。
$3+3＞5$，能构成三角形。
周长为$3+3+5=11$。
情况二：腰长为5，底边长为3。
$5+5＞3$，能构成三角形。
周长为$5+5+3=13$。
11或13
$3+3＞5$，能构成三角形。
周长为$3+3+5=11$。
情况二：腰长为5，底边长为3。
$5+5＞3$，能构成三角形。
周长为$5+5+3=13$。
11或13
16. 如图,$BP$ 是 $\triangle ABC$ 中 $\angle ABC$ 的平分线,$CP$ 是 $\angle ACB$ 的外角的平分线,如果 $\angle ABP = 20^{\circ}$,$\angle ACP = 50^{\circ}$,则 $\angle A + \angle P = $
90°
。答案：90°
解析：
解：
∵BP平分∠ABC，∠ABP=20°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠PBC=∠ABP=20°。
∵CP平分∠ACB的外角，∠ACP=50°，
∴∠ACB的外角=2∠ACP=100°，
∴∠ACB=180°-100°=80°。
在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-40°-80°=60°。
在△PBC中，∠P=180°-∠PBC-∠PCB，
∠PCB=∠ACB+∠ACP=80°+50°=130°，
∴∠P=180°-20°-130°=30°。
∴∠A+∠P=60°+30°=90°。
90°
∵BP平分∠ABC，∠ABP=20°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠PBC=∠ABP=20°。
∵CP平分∠ACB的外角，∠ACP=50°，
∴∠ACB的外角=2∠ACP=100°，
∴∠ACB=180°-100°=80°。
在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-40°-80°=60°。
在△PBC中，∠P=180°-∠PBC-∠PCB，
∠PCB=∠ACB+∠ACP=80°+50°=130°，
∴∠P=180°-20°-130°=30°。
∴∠A+∠P=60°+30°=90°。
90°
17. (7 分)等腰三角形的周长是 $12\mathrm{cm}$,一边与另一边的差为 $3\mathrm{cm}$,求三边的长。
答案：5 cm,5 cm,2 cm
解析：
设等腰三角形的腰长为$x\,cm$，底边长为$y\,cm$。
情况一：腰比底长$3\,cm$
$\begin{cases}2x + y = 12 \\ x - y = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 5 \\ y = 2\end{cases}$
此时三边为$5\,cm,5\,cm,2\,cm$，满足三角形三边关系。
情况二：底比腰长$3\,cm$
$\begin{cases}2x + y = 12 \\ y - x = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3 \\ y = 6\end{cases}$
此时三边为$3\,cm,3\,cm,6\,cm$，因$3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，三边的长为$5\,cm,5\,cm,2\,cm$。
情况一：腰比底长$3\,cm$
$\begin{cases}2x + y = 12 \\ x - y = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 5 \\ y = 2\end{cases}$
此时三边为$5\,cm,5\,cm,2\,cm$，满足三角形三边关系。
情况二：底比腰长$3\,cm$
$\begin{cases}2x + y = 12 \\ y - x = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3 \\ y = 6\end{cases}$
此时三边为$3\,cm,3\,cm,6\,cm$，因$3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，三边的长为$5\,cm,5\,cm,2\,cm$。
18. (7 分)如图,$\angle A = 70^{\circ}$,$\angle ABE = 35^{\circ}$,$\angle ACD = 25^{\circ}$。求 $\angle BFC$ 的度数。
答案：130°
解析：
证明：在△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°。
∵∠ABE=35°，∠ACD=25°，
∴∠EBC+∠FCB=∠ABC+∠ACB-∠ABE-∠ACD=110°-35°-25°=50°。
在△BFC中，∠BFC=180°-(∠EBC+∠FCB)=180°-50°=130°。
故∠BFC的度数为130°。
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°。
∵∠ABE=35°，∠ACD=25°，
∴∠EBC+∠FCB=∠ABC+∠ACB-∠ABE-∠ACD=110°-35°-25°=50°。
在△BFC中，∠BFC=180°-(∠EBC+∠FCB)=180°-50°=130°。
故∠BFC的度数为130°。
19. (7 分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle ACB = 80^{\circ}$,$\triangle ABC$ 的外角 $\angle CBD$ 的平分线 $BE$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$。
(1)求 $\angle CBE$ 的度数。
(2)过点 $D$ 作 $DF // BE$,交 $AC$ 的延长线于点 $F$,求 $\angle F$ 的度数。
(1)求 $\angle CBE$ 的度数。
(2)过点 $D$ 作 $DF // BE$,交 $AC$ 的延长线于点 $F$,求 $\angle F$ 的度数。
答案：（1）∠CBE=55°；（2）∠F=25°
解析：
(1) 在$\triangle ABC$中，$\angle A=30^{\circ}$，$\angle ACB=80^{\circ}$，根据三角形内角和定理，$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A-\angle ACB=180^{\circ}-30^{\circ}-80^{\circ}=70^{\circ}$。
$\angle CBD$是$\triangle ABC$的外角，所以$\angle CBD=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle CBD$，所以$\angle CBE=\frac{1}{2}\angle CBD=\frac{1}{2}×110^{\circ}=55^{\circ}$。
(2) 由
(1)知$\angle ABC=70^{\circ}$，$\angle CBE=55^{\circ}$，则$\angle ABE=\angle ABC+\angle CBE=70^{\circ}+55^{\circ}=125^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，$\angle A=30^{\circ}$，所以$\angle AEB=180^{\circ}-\angle A-\angle ABE=180^{\circ}-30^{\circ}-125^{\circ}=25^{\circ}$。
因为$DF// BE$，所以$\angle F=\angle AEB=25^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
答案：
(1)$55^{\circ}$；
(2)$25^{\circ}$
20. (7 分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle B = \angle C$,$\angle CDE = 20^{\circ}$,且 $\angle ADE = \angle AED$,求 $\angle BAD$ 的度数。
40°
答案：40°
解析：
证明：设$\angle BAD = x$，$\angle B = \angle C = y$。
$\because \angle CDE = 20^{\circ}$，$\angle ADE = \angle AED$，
$\therefore \angle ADE = \angle AED = \angle CDE + \angle C = 20^{\circ} + y$。
$\because \angle AED + \angle DEC = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle DEC = 180^{\circ} - \angle AED = 180^{\circ} - (20^{\circ} + y) = 160^{\circ} - y$。
在$\triangle DEC$中，$\angle CDE + \angle C + \angle DEC = 180^{\circ}$，
即$20^{\circ} + y + (160^{\circ} - y) = 180^{\circ}$，恒成立。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADC = \angle B + \angle BAD = y + x$。
又$\angle ADC = \angle ADE + \angle CDE$，
$\therefore y + x = (20^{\circ} + y) + 20^{\circ}$，
解得$x = 40^{\circ}$。
$\angle BAD = 40^{\circ}$。
$\because \angle CDE = 20^{\circ}$，$\angle ADE = \angle AED$，
$\therefore \angle ADE = \angle AED = \angle CDE + \angle C = 20^{\circ} + y$。
$\because \angle AED + \angle DEC = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle DEC = 180^{\circ} - \angle AED = 180^{\circ} - (20^{\circ} + y) = 160^{\circ} - y$。
在$\triangle DEC$中，$\angle CDE + \angle C + \angle DEC = 180^{\circ}$，
即$20^{\circ} + y + (160^{\circ} - y) = 180^{\circ}$，恒成立。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADC = \angle B + \angle BAD = y + x$。
又$\angle ADC = \angle ADE + \angle CDE$，
$\therefore y + x = (20^{\circ} + y) + 20^{\circ}$，
解得$x = 40^{\circ}$。
$\angle BAD = 40^{\circ}$。