6. 如图,已知$AD \perp BC于点D$,$\triangle ABD \cong \triangle CFD$.
(1)求证：$CE \perp AB$；
(2)若$BC = 7$,$AD = 5$,求$AF$的长.
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(1)求证：$CE \perp AB$；
(2)若$BC = 7$,$AD = 5$,求$AF$的长.
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答案：（1）证明：因为△ABD≌△CFD，所以∠BAD=∠FCD. 又因为∠AFE=∠CFD，所以∠AEF=∠CDF=90°，所以CE⊥AB. （2）AF=3.
解析：
（1）证明：
∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD=∠FCD。
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠AEF=∠CDF。
∵AD⊥BC，
∴∠CDF=90°，
∴∠AEF=90°，
∴CE⊥AB。
（2）
∵△ABD≌△CFD，
∴AD=CD=5。
∵BC=7，
∴BD=BC-CD=7-5=2。
∵AD=5，BD=2，
∴AF=AD-DF=AD-BD=5-2=3。
故AF=3。
∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD=∠FCD。
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠AEF=∠CDF。
∵AD⊥BC，
∴∠CDF=90°，
∴∠AEF=90°，
∴CE⊥AB。
（2）
∵△ABD≌△CFD，
∴AD=CD=5。
∵BC=7，
∴BD=BC-CD=7-5=2。
∵AD=5，BD=2，
∴AF=AD-DF=AD-BD=5-2=3。
故AF=3。
7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\triangle CAD \cong \triangle CED$,$\triangle CEF \cong \triangle BEF$,$\triangle CEF \cong \triangle CAD$.
(1)求$\angle B$的度数；
(2)求证：$EF // AC$.
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(1)求$\angle B$的度数；
(2)求证：$EF // AC$.
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答案：（1）30°；（2）提示：证∠BFE=90°=∠ACB.
解析：
（1）解：设∠B=x，
∵△CEF≌△BEF，
∴∠ECB=∠B=x，∠CEF=∠BEF，∠CFE=∠BFE，
∵△CAD≌△CED≌△CEF，
∴∠A=∠CED=∠CEF，∠ACD=∠ECD=∠ECF，∠ADC=∠CDE=∠CFE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECD+∠ECF=90°，
∴∠ACD=∠ECD=∠ECF=30°，
∵∠ECB=x，∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°-x，
∵∠ACE=∠ACD+∠ECD=60°，
∴90°-x=60°，
解得x=30°，即∠B=30°.
（2）证明：由（1）知∠B=30°，∠CFE=∠BFE，
∵∠CFE+∠BFE=180°，
∴∠BFE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BFE=∠ACB，
∴EF//AC.
∵△CEF≌△BEF，
∴∠ECB=∠B=x，∠CEF=∠BEF，∠CFE=∠BFE，
∵△CAD≌△CED≌△CEF，
∴∠A=∠CED=∠CEF，∠ACD=∠ECD=∠ECF，∠ADC=∠CDE=∠CFE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECD+∠ECF=90°，
∴∠ACD=∠ECD=∠ECF=30°，
∵∠ECB=x，∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°-x，
∵∠ACE=∠ACD+∠ECD=60°，
∴90°-x=60°，
解得x=30°，即∠B=30°.
（2）证明：由（1）知∠B=30°，∠CFE=∠BFE，
∵∠CFE+∠BFE=180°，
∴∠BFE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BFE=∠ACB，
∴EF//AC.
如图,已知$\triangle ABC \cong \triangle ADE$,$AB = AD$,$AC = AE$,$BC的延长线交DA于点F$,交$DE于点G$,$\angle AED = 105^{\circ}$,$\angle CAD = 15^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,求$\angle 1$的度数.
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答案：∠1=60°.
解析：
证明：
∵$\triangle ABC \cong \triangle ADE$，
∴$\angle AED = \angle ACB = 105°$，$\angle D = \angle B = 30°$。
在$\triangle ABC$中，
$\angle BAC = 180° - \angle B - \angle ACB = 180° - 30° - 105° = 45°$。
∵$\angle CAD = 15°$，
∴$\angle DAF = \angle BAC - \angle CAD = 45° - 15° = 30°$。
在$\triangle DFG$中，
$\angle AFD = 180° - \angle D - \angle DAF = 180° - 30° - 30° = 120°$。
∵$\angle AFD + \angle GFD = 180°$，
∴$\angle GFD = 180° - 120° = 60°$，即$\angle 1 = 60°$。
$\angle 1 = 60°$。
∵$\triangle ABC \cong \triangle ADE$，
∴$\angle AED = \angle ACB = 105°$，$\angle D = \angle B = 30°$。
在$\triangle ABC$中，
$\angle BAC = 180° - \angle B - \angle ACB = 180° - 30° - 105° = 45°$。
∵$\angle CAD = 15°$，
∴$\angle DAF = \angle BAC - \angle CAD = 45° - 15° = 30°$。
在$\triangle DFG$中，
$\angle AFD = 180° - \angle D - \angle DAF = 180° - 30° - 30° = 120°$。
∵$\angle AFD + \angle GFD = 180°$，
∴$\angle GFD = 180° - 120° = 60°$，即$\angle 1 = 60°$。
$\angle 1 = 60°$。