7. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,$\angle 1= \angle 2$,$DB = DC$,且$\angle DBC= \angle DCB$。
(1)求证：$\triangle ABD\cong\triangle EDC$；
(2)若$\angle A = 125^{\circ}$,$\angle BDC = 30^{\circ}$,求$\angle BCE$的度数。
(1)求证：$\triangle ABD\cong\triangle EDC$；
(2)若$\angle A = 125^{\circ}$,$\angle BDC = 30^{\circ}$,求$\angle BCE$的度数。
答案：(2)50°
解析：
(1)证明：∵AB//CD，∴∠ABD=∠BDC（两直线平行，内错角相等）。
∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB（等边对等角）。
在△ABD和△EDC中，
∠1=∠2（已知），
∠ABD=∠EDC（已证，∠ABD=∠BDC=∠EDC），
BD=DC（已知），
∴△ABD≌△EDC（AAS）。
(2)解：∵DB=DC，∠BDC=30°，
∴∠DBC=∠DCB=(180°-30°)/2=75°。
∵△ABD≌△EDC，∴∠A=∠DEC=125°。
在△EDC中，∠ECD=180°-∠DEC-∠EDC=180°-125°-30°=25°。
∵∠DCB=∠ECD+∠BCE，
∴∠BCE=∠DCB-∠ECD=75°-25°=50°。
∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB（等边对等角）。
在△ABD和△EDC中，
∠1=∠2（已知），
∠ABD=∠EDC（已证，∠ABD=∠BDC=∠EDC），
BD=DC（已知），
∴△ABD≌△EDC（AAS）。
(2)解：∵DB=DC，∠BDC=30°，
∴∠DBC=∠DCB=(180°-30°)/2=75°。
∵△ABD≌△EDC，∴∠A=∠DEC=125°。
在△EDC中，∠ECD=180°-∠DEC-∠EDC=180°-125°-30°=25°。
∵∠DCB=∠ECD+∠BCE，
∴∠BCE=∠DCB-∠ECD=75°-25°=50°。
8. 如图,在$\triangle ABF$中,$E是边AF$的中点,点$C在BF$上,作$AD// BF交CE的延长线于点D$。
(1)求证：$\triangle AED\cong\triangle FEC$；
(2)若$AF\perp CD于点E$,$AE = 3$,$DE = 4$,$CF = 5$,求点$E到AD$的距离。
(1)求证：$\triangle AED\cong\triangle FEC$；
(2)若$AF\perp CD于点E$,$AE = 3$,$DE = 4$,$CF = 5$,求点$E到AD$的距离。
答案：(1)
证明：
$\because AD// BF$，
$\therefore \angle ADE = \angle FCE$（两直线平行，内错角相等），
$\because E$是$AF$的中点，
$\therefore AE = FE$，
在$\triangle AED$和$\triangle FEC$中，
$\begin{cases} \angle ADE = \angle FCE \\ \angle AED = \angle FEC（对顶角相等） \\ AE = FE \end{cases}$
$\therefore \triangle AED\cong\triangle FEC(AAS)$。
(2)
$\because AF\perp CD$，$AE = 3$，$DE = 4$，
由(1)知$\triangle AED\cong\triangle FEC$，
$\therefore AE = FE = 3$，$DE = EC = 4$，
在$Rt\triangle AED$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
设点$E$到$AD$的距离为$h$，
根据三角形面积公式$S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}× AD× h=\frac{1}{2}× AE× DE$，
即$\frac{1}{2}×5× h=\frac{1}{2}×3×4$，
$5h = 12$，
解得$h=\frac{12}{5}$。
综上，点$E$到$AD$的距离为$\frac{12}{5}$。
证明：
$\because AD// BF$，
$\therefore \angle ADE = \angle FCE$（两直线平行，内错角相等），
$\because E$是$AF$的中点，
$\therefore AE = FE$，
在$\triangle AED$和$\triangle FEC$中，
$\begin{cases} \angle ADE = \angle FCE \\ \angle AED = \angle FEC（对顶角相等） \\ AE = FE \end{cases}$
$\therefore \triangle AED\cong\triangle FEC(AAS)$。
(2)
$\because AF\perp CD$，$AE = 3$，$DE = 4$，
由(1)知$\triangle AED\cong\triangle FEC$，
$\therefore AE = FE = 3$，$DE = EC = 4$，
在$Rt\triangle AED$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
设点$E$到$AD$的距离为$h$，
根据三角形面积公式$S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}× AD× h=\frac{1}{2}× AE× DE$，
即$\frac{1}{2}×5× h=\frac{1}{2}×3×4$，
$5h = 12$，
解得$h=\frac{12}{5}$。
综上，点$E$到$AD$的距离为$\frac{12}{5}$。
如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$AD$,$CE分别平分\angle BAC$,$\angle ACB$。
求证：$AC = AE + CD$。
求证：$AC = AE + CD$。
答案：证明：在AC上截取AF=AE，连接OF。
∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO。
在△AEO和△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AF \\ ∠EAO=∠FAO \\ AO=AO\end{array}\right.$
∴△AEO≌△AFO（SAS）。
∴∠AOE=∠AOF。
∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=120°。
∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=60°。
∴∠AOC=180°-60°=120°，∴∠AOE=∠COD=60°。
∴∠AOF=∠AOE=60°，∠FOC=∠AOC-∠AOF=60°。
∵CE平分∠ACB，∴∠FCO=∠DCO。
在△FCO和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠FCO=∠DCO \\ OC=OC \\ ∠FOC=∠DOC\end{array}\right.$
∴△FCO≌△DCO（ASA）。
∴FC=CD。
∵AC=AF+FC，AF=AE，FC=CD，
∴AC=AE+CD。
即AC=AE+CD。
∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO。
在△AEO和△AFO中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AF \\ ∠EAO=∠FAO \\ AO=AO\end{array}\right.$
∴△AEO≌△AFO（SAS）。
∴∠AOE=∠AOF。
∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=120°。
∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)=60°。
∴∠AOC=180°-60°=120°，∴∠AOE=∠COD=60°。
∴∠AOF=∠AOE=60°，∠FOC=∠AOC-∠AOF=60°。
∵CE平分∠ACB，∴∠FCO=∠DCO。
在△FCO和△DCO中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠FCO=∠DCO \\ OC=OC \\ ∠FOC=∠DOC\end{array}\right.$
∴△FCO≌△DCO（ASA）。
∴FC=CD。
∵AC=AF+FC，AF=AE，FC=CD，
∴AC=AE+CD。
即AC=AE+CD。
1. 如果一个三角形三边的
大小(长度)
确定了,那么这个三角形的形状
和大小
就确定了。答案：大小(长度);形状;大小
2. 三边
分别相等
的两个三角形全等(可以简写成“边边边
”或“SSS
”)。答案：分别相等;边边边;SSS
3. 一个平分角的仪器如图所示,其中$AB = AD$,$BC = DC$,则$\angle BAC与\angle DAC$的大小关系是
相等
。答案：相等
解析：
证明：在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中，
$\begin{cases}AB = AD \\BC = DC \\AC = AC\end{cases}$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC$（SSS）
$\therefore \angle BAC = \angle DAC$
相等
$\begin{cases}AB = AD \\BC = DC \\AC = AC\end{cases}$
$\therefore \triangle ABC \cong \triangle ADC$（SSS）
$\therefore \angle BAC = \angle DAC$
相等