1. 在$\triangle ABC$中,$AB = 2$,$AC = 3$,$BC = a$,$a$的值可能是(
A.$1$
B.$3$
C.$5$
D.$7$
B
)A.$1$
B.$3$
C.$5$
D.$7$
答案：B.
解析：
在$\triangle ABC$中，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知$AB = 2$，$AC = 3$，$BC = a$，则有$3 - 2 ＜ a ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ a ＜ 5$。选项中只有$3$满足条件，故答案为B。
2. 下列各组数值的三条线段：(1)$6$,$10$,$4$；(2)$5$,$4$,$8$；(3)$5$,$10$,$4$；(4)$5$,$5$,$8$。其中,能组成三角形的是
(2)(4)
(填序号).答案：
(2)
(4).
(2)
(4).
问题 用$6$根相同的木棒搭一个三角形(木棒可以有剩余,但不能截断),能搭成多少种不同的等腰三角形？
名师指导
判断能否组成三角形的简便方法是看两条相对较短的边之和是否大于第三条边.不妨假设每次选用$n$根木棒,能搭成$m$种不同的等腰三角形,为探究$m与n$之间的关系,可以分情况讨论.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
| $n$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| $m$ |
名师指导
判断能否组成三角形的简便方法是看两条相对较短的边之和是否大于第三条边.不妨假设每次选用$n$根木棒,能搭成$m$种不同的等腰三角形,为探究$m与n$之间的关系,可以分情况讨论.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
| $n$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| $m$ |
1
| 0
| 1
| 1
|答案：| $n$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| $m$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ |
具体分析：
1. $n=3$（周长3）
等腰三角形三边只能为$1,1,1$（等边三角形），满足$1+1＞1$。故$m=1$。
2. $n=4$（周长4）
可能情况：$1,1,2$（$1+1=2$，不满足两边之和大于第三边）。无有效三角形，故$m=0$。
3. $n=5$（周长5）
可能情况：$2,2,1$（$1+2＞2$，满足三边关系）。故$m=1$。
4. $n=6$（周长6）
可能情况：$2,2,2$（等边三角形，$2+2＞2$）。故$m=1$。
| $m$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ |
具体分析：
1. $n=3$（周长3）
等腰三角形三边只能为$1,1,1$（等边三角形），满足$1+1＞1$。故$m=1$。
2. $n=4$（周长4）
可能情况：$1,1,2$（$1+1=2$，不满足两边之和大于第三边）。无有效三角形，故$m=0$。
3. $n=5$（周长5）
可能情况：$2,2,1$（$1+2＞2$，满足三边关系）。故$m=1$。
4. $n=6$（周长6）
可能情况：$2,2,2$（等边三角形，$2+2＞2$）。故$m=1$。
1. 如果三角形的两边长分别为$3和5$,则周长$L$的取值范围是(
A.$6 ＜ L ＜ 15$
B.$6 ＜ L ＜ 16$
C.$11 ＜ L ＜ 13$
D.$10 ＜ L ＜ 16$
D
)A.$6 ＜ L ＜ 15$
B.$6 ＜ L ＜ 16$
C.$11 ＜ L ＜ 13$
D.$10 ＜ L ＜ 16$
答案：D.
解析：
设第三边长为$x$，根据三角形三边关系，$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。周长$L = 3 + 5 + x = 8 + x$，因为$2 ＜ x ＜ 8$，所以$8 + 2 ＜ L ＜ 8 + 8$，即$10 ＜ L ＜ 16$。
D.
D.
2. 在下列长度的三条线段中,不能组成三角形的是(
A.$2\mathrm{cm}$,$3\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}$
B.$3\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$,$7\mathrm{cm}$
C.$2\mathrm{cm}$,$2\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$
D.$5\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$,$7\mathrm{cm}$
C
)A.$2\mathrm{cm}$,$3\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}$
B.$3\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$,$7\mathrm{cm}$
C.$2\mathrm{cm}$,$2\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$
D.$5\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$,$7\mathrm{cm}$
答案：C.
3. 三条线段的长度$a$,$b$,$c$分别满足下列条件,其中能构成三角形的是(
A.$a + b = 4$,$a + b + c = 9$
B.$a : b : c = 1 : 2 : 3$
C.$a : b : c = 2 : 3 : 4$
D.$a : b : c = 2 : 2 : 4$
C
)A.$a + b = 4$,$a + b + c = 9$
B.$a : b : c = 1 : 2 : 3$
C.$a : b : c = 2 : 3 : 4$
D.$a : b : c = 2 : 2 : 4$
答案：C.
解析：
A. 由$a + b = 4$，$a + b + c = 9$，得$c = 5$，$a + b = 4 ＜ c$，不能构成三角形。
B. 设$a = k$，$b = 2k$，$c = 3k$，$a + b = 3k = c$，不能构成三角形。
C. 设$a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$，$2k + 3k = 5k ＞ 4k$，$2k + 4k = 6k ＞ 3k$，$3k + 4k = 7k ＞ 2k$，能构成三角形。
D. 设$a = 2k$，$b = 2k$，$c = 4k$，$a + b = 4k = c$，不能构成三角形。
C
B. 设$a = k$，$b = 2k$，$c = 3k$，$a + b = 3k = c$，不能构成三角形。
C. 设$a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$，$2k + 3k = 5k ＞ 4k$，$2k + 4k = 6k ＞ 3k$，$3k + 4k = 7k ＞ 2k$，能构成三角形。
D. 设$a = 2k$，$b = 2k$，$c = 4k$，$a + b = 4k = c$，不能构成三角形。
C
4. 五条线段的长度分别为$1\mathrm{cm}$、$2\mathrm{cm}$、$3\mathrm{cm}$、$4\mathrm{cm}$、$5\mathrm{cm}$,从其中任选三条线段组成三角形,则可组成不同的三角形的个数是(
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
C
)A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案：C.
解析：
从五条线段中任选三条线段的组合有：
1. $1\mathrm{cm},2\mathrm{cm},3\mathrm{cm}$：$1 + 2 = 3$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
2. $1\mathrm{cm},2\mathrm{cm},4\mathrm{cm}$：$1 + 2 ＜ 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
3. $1\mathrm{cm},2\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$1 + 2 ＜ 5$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
4. $1\mathrm{cm},3\mathrm{cm},4\mathrm{cm}$：$1 + 3 = 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
5. $1\mathrm{cm},3\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$1 + 3 ＜ 5$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
6. $1\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$1 + 4 = 5$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
7. $2\mathrm{cm},3\mathrm{cm},4\mathrm{cm}$：$2 + 3 ＞ 4$，$2 + 4 ＞ 3$，$3 + 4 ＞ 2$，满足三角形两边之和大于第三边，能组成三角形。
8. $2\mathrm{cm},3\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$2 + 3 = 5$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
9. $2\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$2 + 4 ＞ 5$，$2 + 5 ＞ 4$，$4 + 5 ＞ 2$，满足三角形两边之和大于第三边，能组成三角形。
10. $3\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$3 + 4 ＞ 5$，$3 + 5 ＞ 4$，$4 + 5 ＞ 3$，满足三角形两边之和大于第三边，能组成三角形。
可组成不同的三角形的个数是$3$个。
C.
1. $1\mathrm{cm},2\mathrm{cm},3\mathrm{cm}$：$1 + 2 = 3$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
2. $1\mathrm{cm},2\mathrm{cm},4\mathrm{cm}$：$1 + 2 ＜ 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
3. $1\mathrm{cm},2\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$1 + 2 ＜ 5$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
4. $1\mathrm{cm},3\mathrm{cm},4\mathrm{cm}$：$1 + 3 = 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
5. $1\mathrm{cm},3\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$1 + 3 ＜ 5$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
6. $1\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$1 + 4 = 5$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
7. $2\mathrm{cm},3\mathrm{cm},4\mathrm{cm}$：$2 + 3 ＞ 4$，$2 + 4 ＞ 3$，$3 + 4 ＞ 2$，满足三角形两边之和大于第三边，能组成三角形。
8. $2\mathrm{cm},3\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$2 + 3 = 5$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形。
9. $2\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$2 + 4 ＞ 5$，$2 + 5 ＞ 4$，$4 + 5 ＞ 2$，满足三角形两边之和大于第三边，能组成三角形。
10. $3\mathrm{cm},4\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$：$3 + 4 ＞ 5$，$3 + 5 ＞ 4$，$4 + 5 ＞ 3$，满足三角形两边之和大于第三边，能组成三角形。
可组成不同的三角形的个数是$3$个。
C.