证明：
∵点$P$到$BE$、$BD$的距离相等，
∴点$P$在$\angle B$的平分线上，（1）正确；
∵点$P$到$BD$、$AC$的距离相等，
∴点$P$在$\angle DAC$的平分线上，（2）正确；
∵点$P$到$AC$、$BE$的距离相等，
∴点$P$在$\angle ECA$的平分线上，（3）正确；
由（1）（2）（3）知，点$P$是$\angle B$、$\angle DAC$、$\angle ECA$三个角的平分线的交点，（4）正确.
综上，正确结论的个数为$4$个.
D

解：
∵在$\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$AC=BC$，
∴$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$\angle B=45°$。
∵$AD$是角平分线，$DE\perp AB$，$\angle C=90°$，
∴$DC=DE$（角平分线性质），$AE=AC$（全等三角形对应边相等，$\triangle ACD\cong\triangle AED$）。
设$AC=BC=x$，则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}x=10$，
$\triangle DBE$的周长$=DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10\,cm$。
C

证明：
① $\because BE\perp AC$，$CF\perp AB$，
$\therefore \angle AEB=\angle AFC=90°$，
$\because AB=AC$，$\angle BAE=\angle CAF$，
$\therefore \triangle ABE\cong\triangle ACF(AAS)$，故①正确；
② 由①得 $AE=AF$，$BE=CF$，
$\because AB=AC$，$\therefore BF=AB-AF=AC-AE=CE$，
$\because \angle BFD=\angle CED=90°$，$\angle BDF=\angle CDE$，
$\therefore \triangle BDF\cong\triangle CDE(AAS)$，故②正确；
③ 由②得 $DF=DE$，
$\because BE\perp AC$，$CF\perp AB$，
$\therefore$ 点 $D$ 在 $\angle BAC$ 的平分线上（角平分线性质逆定理），故③正确。
综上，①②③均正确。
答案：D

证明：
∵ $QC \perp OA$，$QD \perp OB$，且 $QC = QD$，
∴ 点 $Q$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∵ $\angle AOB = 70°$，
∴ $\angle AOQ = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
35

证明：过点$D$作$DF\perp AC$于点$F$。
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$DE = DF$。
设$DE = DF = x$。
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$，
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×4× x = 2x$，
$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF=\frac{1}{2}×3× x=\frac{3}{2}x$，
所以$2x+\frac{3}{2}x=7$，
解得$x = 2$。
$DE=2$。
答案：$2$