8. 如图,直线 $ l_1 $,$ l_2 $,$ l_3 $ 表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(
A.1 处
B.2 处
C.3 处
D.4 处
D
)A.1 处
B.2 处
C.3 处
D.4 处
答案：D
解析：
解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三条公路构成三角形，其内角平分线交点有1处；三角形外角平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等，外角平分线交点有3处。所以共有1+3=4处。
答案：D
答案：D
9. 如图,$ \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' $,其中 $ \angle A = 36^{\circ} $,$ \angle C' = 24^{\circ} $,则 $ \angle B = $
120°
.答案：120°
解析：
证明：
∵$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$，
∴$\angle C = \angle C' = 24°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，
∵$\angle A = 36°$，$\angle C = 24°$，
∴$\angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 36° - 24° = 120°$。
$120°$
∵$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$，
∴$\angle C = \angle C' = 24°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，
∵$\angle A = 36°$，$\angle C = 24°$，
∴$\angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 36° - 24° = 120°$。
$120°$
10. 如图,$ AD = BC $,$ FD = EC $,再加上条件
AB=FE（或AF=BE）
,就可证 $ \angle D = \angle C $.答案：AB=FE（或AF=BE）
11. 如图,$ \angle ACB = \angle BDA = 90^{\circ} $,要利用“HL”证得 $ \triangle ACB \cong \triangle BDA $,还需增加的条件是
AC=BD（或BC=AD）
.答案：AC=BD（或BC=AD）
12. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = BC $,$ AD $ 平分 $ \angle CAB $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,$ DE \perp AB $ 于点 $ E $,且 $ AB = 6 cm $,那么 $ \triangle DEB $ 的周长为
6 cm
.答案：6 cm
解析：
∵在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=BC$，$AB=6\ cm$，
∴$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle B=45^{\circ}$。
∵$AD$平分$\angle CAB$，$DE \perp AB$，$\angle C=90^{\circ}$，
∴$CD=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle AED$中，
$\begin{cases} AD=AD \\ CD=DE \end{cases}$，
∴$Rt\triangle ACD \cong Rt\triangle AED(HL)$，
∴$AC=AE$。
∵$AC=BC$，
∴$AE=BC$。
$\triangle DEB$的周长为$DE+EB+BD$，
∵$CD=DE$，
∴$DE+BD=CD+BD=BC$，
∴$\triangle DEB$的周长为$BC+EB=AE+EB=AB=6\ cm$。
6 cm
13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线,$ AB : AC = 4 : 3 $,则 $ S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = $
4:3
.答案：4:3
解析：
证明：过点$D$作$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$。
∵$AD$是$\angle BAC$的平分线，
∴$DE = DF$。
∵$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AB \cdot DE$，$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}AC \cdot DF$，
∴$S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = AB : AC$。
∵$AB : AC = 4 : 3$，
∴$S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = 4 : 3$。
4:3
∵$AD$是$\angle BAC$的平分线，
∴$DE = DF$。
∵$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AB \cdot DE$，$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}AC \cdot DF$，
∴$S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = AB : AC$。
∵$AB : AC = 4 : 3$，
∴$S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ACD} = 4 : 3$。
4:3
14. 如图,已知 $ AB // CD $,点 $ O $ 为 $ \angle CAB $,$ \angle ACD $ 的平分线的交点,点 $ O $ 到 $ AC $ 的距离为 $ 2 cm $,则两平行线间的距离为
4
$ cm $.答案：4
解析：
解：过点 $ O $ 作 $ OE \perp AB $ 于点 $ E $，$ OF \perp CD $ 于点 $ F $，$ OG \perp AC $ 于点 $ G $。
因为 $ AO $ 平分 $ \angle CAB $，$ OE \perp AB $，$ OG \perp AC $，所以 $ OE = OG = 2\ cm $。
因为 $ CO $ 平分 $ \angle ACD $，$ OF \perp CD $，$ OG \perp AC $，所以 $ OF = OG = 2\ cm $。
因为 $ AB // CD $，所以 $ E $，$ O $，$ F $ 三点共线，两平行线间的距离为 $ OE + OF = 2 + 2 = 4\ cm $。
4
因为 $ AO $ 平分 $ \angle CAB $，$ OE \perp AB $，$ OG \perp AC $，所以 $ OE = OG = 2\ cm $。
因为 $ CO $ 平分 $ \angle ACD $，$ OF \perp CD $，$ OG \perp AC $，所以 $ OF = OG = 2\ cm $。
因为 $ AB // CD $，所以 $ E $，$ O $，$ F $ 三点共线，两平行线间的距离为 $ OE + OF = 2 + 2 = 4\ cm $。
4
15. 如图,已知在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ AD $ 是角平分线,$ BE = CF $. 有下列说法：(1)$ DA $ 平分 $ \angle EDF $；(2)$ \triangle EBD \cong \triangle FCD $；(3)$ \triangle AED \cong \triangle AFD $. 其中正确的个数是
3
.答案：3
解析：
证明：
∵ $AB=AC$，$AD$是角平分线，
∴ $AD$平分$\angle BAC$，$BD=CD$，$\angle B=\angle C$。
(2)在$\triangle EBD$和$\triangle FCD$中，
$\begin{cases} BE=CF \\ \angle B=\angle C \\ BD=CD \end{cases}$，
∴ $\triangle EBD \cong \triangle FCD$（SAS），故
(2)正确。
由$\triangle EBD \cong \triangle FCD$得$DE=DF$。
(3)在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中，
$\begin{cases} AE=AF \\ AD=AD \\ DE=DF \end{cases}$（$AE=AB-BE$，$AF=AC-CF$，$AB=AC$，$BE=CF$），
∴ $\triangle AED \cong \triangle AFD$（SSS），故
(3)正确。
由$\triangle AED \cong \triangle AFD$得$\angle EDA=\angle FDA$，
∴ $DA$平分$\angle EDF$，故
(1)正确。
综上，正确的个数是3。
3
∵ $AB=AC$，$AD$是角平分线，
∴ $AD$平分$\angle BAC$，$BD=CD$，$\angle B=\angle C$。
(2)在$\triangle EBD$和$\triangle FCD$中，
$\begin{cases} BE=CF \\ \angle B=\angle C \\ BD=CD \end{cases}$，
∴ $\triangle EBD \cong \triangle FCD$（SAS），故
(2)正确。
由$\triangle EBD \cong \triangle FCD$得$DE=DF$。
(3)在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中，
$\begin{cases} AE=AF \\ AD=AD \\ DE=DF \end{cases}$（$AE=AB-BE$，$AF=AC-CF$，$AB=AC$，$BE=CF$），
∴ $\triangle AED \cong \triangle AFD$（SSS），故
(3)正确。
由$\triangle AED \cong \triangle AFD$得$\angle EDA=\angle FDA$，
∴ $DA$平分$\angle EDF$，故
(1)正确。
综上，正确的个数是3。
3
16. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle A = 90^{\circ} $,$ AD = 3 $,连接 $ BD $,$ BD \perp CD $,$ \angle ADB = \angle C $,若 $ P $ 是 $ BC $ 边上一动点,则 $ DP $ 长的最小值为
3
.答案：3
解析：
证明：
∵ $\angle A = 90°$，$BD \perp CD$，
∴ $\angle A = \angle BDC = 90°$。
∵ $\angle ADB = \angle C$，
∴ $\triangle ABD \sim \triangle DBC$（AA相似）。
∴ $\angle ABD = \angle DBC$，即 $BD$ 平分 $\angle ABC$。
∵ $P$ 是 $BC$ 边上一动点，
∴ $DP$ 长的最小值为点 $D$ 到 $BC$ 的距离。
又
∵ 角平分线上的点到角两边距离相等，
∴ 点 $D$ 到 $BC$ 的距离等于 $AD = 3$。
故 $DP$ 长的最小值为 $3$。
答案：$3$
∵ $\angle A = 90°$，$BD \perp CD$，
∴ $\angle A = \angle BDC = 90°$。
∵ $\angle ADB = \angle C$，
∴ $\triangle ABD \sim \triangle DBC$（AA相似）。
∴ $\angle ABD = \angle DBC$，即 $BD$ 平分 $\angle ABC$。
∵ $P$ 是 $BC$ 边上一动点，
∴ $DP$ 长的最小值为点 $D$ 到 $BC$ 的距离。
又
∵ 角平分线上的点到角两边距离相等，
∴ 点 $D$ 到 $BC$ 的距离等于 $AD = 3$。
故 $DP$ 长的最小值为 $3$。
答案：$3$
17. (8 分)如图,点 $ A $,$ F $,$ C $,$ D $ 在同一条直线上,已知 $ AF = DC $,$ \angle A = \angle D $,$ BC // EF $,请写出 $ AB $ 与 $ DE $ 之间的关系并证明你的结论.
答案：AB//DE, AB=DE, 提示:证△ABC≌△DEF.
解析：
AB与DE的关系是：AB//DE且AB=DE。
证明：
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。
∵BC//EF，
∴∠ACB=∠DFE。
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠D,\\ AC=DF,\\ ∠ACB=∠DFE,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
∴AB=DE，∠B=∠E。
∵∠B=∠E，
∴AB//DE。
综上，AB//DE且AB=DE。
证明：
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF。
∵BC//EF，
∴∠ACB=∠DFE。
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠D,\\ AC=DF,\\ ∠ACB=∠DFE,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
∴AB=DE，∠B=∠E。
∵∠B=∠E，
∴AB//DE。
综上，AB//DE且AB=DE。