6. 如图,已知点P在∠AOB内,点M,N分别是点P关于OA,OB的对称点,连接MN分别交OA,OB于点E,F,若△PEF的周长为15,求MN的长.
答案：MN=15
解析：
证明：
∵点M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴EP=EM，FP=FN，
∵△PEF的周长为15，
∴PE+EF+PF=15，
∵MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF，
∴MN=15.
结论：MN=15.
∵点M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴EP=EM，FP=FN，
∵△PEF的周长为15，
∴PE+EF+PF=15，
∵MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF，
∴MN=15.
结论：MN=15.
7. 如图,直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线,l与m分别交边AB于点D和点E.
(1)若AB= 10,求△CDE的周长.
(2)若∠ACB= 120°,求∠DCE的度数.
(1)若AB= 10,求△CDE的周长.
(2)若∠ACB= 120°,求∠DCE的度数.
答案：
(1)△CDE的周长为10；
(2)∠DCE=60°
(1)△CDE的周长为10；
(2)∠DCE=60°
8. 如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DM交BC于点D,交AB于点M,E为CD的中点,∠CAE= 25°,∠C= 65°. 猜想线段BD与线段AC之间的数量关系,并说明理由.
答案：证明:连接AD,
∵ ∠CAE=25°,∠C=65°,
∴ ∠AED=∠CAE+∠ACB=90°,即AE⊥DC.
∵ 点E为CD中点,
∴ AD=AC.
∵ DM是线段AB的垂直平分线,
∴ BD=AD.
∴ BD=AC
∵ ∠CAE=25°,∠C=65°,
∴ ∠AED=∠CAE+∠ACB=90°,即AE⊥DC.
∵ 点E为CD中点,
∴ AD=AC.
∵ DM是线段AB的垂直平分线,
∴ BD=AD.
∴ BD=AC
如图,在△ABC中,MN是边BC的垂直平分线. 若∠BAC的平分线AG与MN交于点G,连接BG,CG,试探究∠BGC与∠BAC满足的数量关系,并证明你的结论.
答案：解:∠BAC+∠BGC=180°.如图,过点G作GE⊥AB于点E,GF⊥AC交AC延长线于点F.
∵ MN垂直平分BC,
∴ GB=GC.
∵ GA平分∠BAC,GE⊥AB,GF⊥AC,
∴ GF=GE,∠GEB=∠GFC=90°,
∴ △BEG≌△CFG(HL),
∴ ∠GBE=∠GCF.
∵ ∠ACG+∠GCF=180°,
∴ ∠EBG+∠ACG=180°.
∵ ∠BGC+∠ACG+∠BAC+∠ABG=360°,
∴ ∠BAC+∠BGC=180°.
∵ MN垂直平分BC,
∴ GB=GC.
∵ GA平分∠BAC,GE⊥AB,GF⊥AC,
∴ GF=GE,∠GEB=∠GFC=90°,
∴ △BEG≌△CFG(HL),
∴ ∠GBE=∠GCF.
∵ ∠ACG+∠GCF=180°,
∴ ∠EBG+∠ACG=180°.
∵ ∠BGC+∠ACG+∠BAC+∠ABG=360°,
∴ ∠BAC+∠BGC=180°.