1. 如图,在已知的 $ \triangle ABC $ 中,按以下步骤作图：
① 分别以 $ B $,$ C $ 为圆心,以大于 $ \frac{1}{2}BC $ 的长为半径作弧,两弧相交于两点 $ M $,$ N $；
② 作直线 $ MN $ 交 $ AB $ 于点 $ D $,连接 $ CD $.
若 $ CD = AC $,$ \angle A = 50^{\circ} $,则 $ \angle ACB $ 的度数为(
A.$ 90^{\circ} $
B.$ 95^{\circ} $
C.$ 100^{\circ} $
D.$ 105^{\circ} $
① 分别以 $ B $,$ C $ 为圆心,以大于 $ \frac{1}{2}BC $ 的长为半径作弧,两弧相交于两点 $ M $,$ N $；
② 作直线 $ MN $ 交 $ AB $ 于点 $ D $,连接 $ CD $.
若 $ CD = AC $,$ \angle A = 50^{\circ} $,则 $ \angle ACB $ 的度数为(
D
)A.$ 90^{\circ} $
B.$ 95^{\circ} $
C.$ 100^{\circ} $
D.$ 105^{\circ} $
答案：D.
解析：
证明：由作图步骤①②可知，MN是BC的垂直平分线，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB。
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=∠A=50°。
∵∠CDA是△BCD的外角，
∴∠CDA=∠B+∠DCB=2∠B，
∴∠B=25°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-25°=105°。
D.
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB。
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=∠A=50°。
∵∠CDA是△BCD的外角，
∴∠CDA=∠B+∠DCB=2∠B，
∴∠B=25°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-25°=105°。
D.
2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ P $ 是 $ \triangle ABC $ 内一点,且 $ \angle PBC = \angle PCA $,若 $ \angle BPC = 115^{\circ} $,则 $ \angle A $ 的度数为(
A.$ 50^{\circ} $
B.$ 55^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 65^{\circ} $
A
)A.$ 50^{\circ} $
B.$ 55^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 65^{\circ} $
答案：A.
解析：
解：设$\angle PBC = \angle PCA = x$，$\angle PCB = y$。
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC = \angle ACB$，则$\angle ABC = \angle ACB = x + y$。
在$\triangle BPC$中，$\angle BPC = 115^{\circ}$，所以$\angle PBC + \angle PCB = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$，即$x + y = 65^{\circ}$，故$\angle ABC = \angle ACB = 65^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 180^{\circ} - 2 × 65^{\circ} = 50^{\circ}$。
答案：A.
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC = \angle ACB$，则$\angle ABC = \angle ACB = x + y$。
在$\triangle BPC$中，$\angle BPC = 115^{\circ}$，所以$\angle PBC + \angle PCB = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$，即$x + y = 65^{\circ}$，故$\angle ABC = \angle ACB = 65^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 180^{\circ} - 2 × 65^{\circ} = 50^{\circ}$。
答案：A.
3. 如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是：从电线杆 $ DE $ 上一点 $ A $ 往地面拉两条长度相等的固定绳 $ AB $ 与 $ AC $,当固定点 $ B $,$ C $ 到杆脚 $ E $ 的距离相等,且 $ B $,$ E $,$ C $ 在同一条直线上时,电线杆 $ DE $ 就垂直于 $ BC $. 工程人员这种操作方法的依据是(
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
C
)A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
答案：C.