问题 平面直角坐标系中,已知点 $ A(2, 2) $,$ B(4, 0) $. 若在坐标轴上取点 $ C $,使 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形,则满足条件的点 $ C $ 有多少个？
名师指导
构造等腰三角形,分别以 $ A $,$ B $ 为圆心,以 $ AB $ 的长为半径画圆；作 $ AB $ 的垂直平分线. 注意：与点 $ B $ 重合及与 $ AB $ 共线的点要排除.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
构造等腰三角形,分别以 $ A $,$ B $ 为圆心,以 $ AB $ 的长为半径画圆；作 $ AB $ 的垂直平分线. 注意：与点 $ B $ 重合及与 $ AB $ 共线的点要排除.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案：5
解析：
1. 计算AB长度：A(2,2)，B(4,0)，$AB=\sqrt{(4-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. 情况1：AB=AC（A为顶点）
以A为圆心，$2\sqrt{2}$为半径画圆，与坐标轴交点：
x轴：$(x-2)^2+(0-2)^2=8$，解得$x=0$或$4$（$x=4$为B，排除），得$(0,0)$。
y轴：$(0-2)^2+(y-2)^2=8$，解得$y=0$或$4$（$y=4$在直线AB上，排除），得$(0,0)$（重复）。
共1点：$(0,0)$。
3. 情况2：AB=BC（B为顶点）
以B为圆心，$2\sqrt{2}$为半径画圆，与坐标轴交点：
x轴：$(x-4)^2+0^2=8$，解得$x=4\pm2\sqrt{2}$，得$(4+2\sqrt{2},0)$，$(4-2\sqrt{2},0)$。
y轴：$0^2+y^2=8-16=-8$（无解）。
共2点。
4. 情况3：AC=BC（C为顶点）
AB垂直平分线：中点$(3,1)$，斜率1，方程$y=x-2$，与坐标轴交点：
x轴：$y=0$，$x=2$，得$(2,0)$。
y轴：$x=0$，$y=-2$，得$(0,-2)$。
共2点。
5. 汇总：$(0,0)$，$(4+2\sqrt{2},0)$，$(4-2\sqrt{2},0)$，$(2,0)$，$(0,-2)$，共5个。
2. 情况1：AB=AC（A为顶点）
以A为圆心，$2\sqrt{2}$为半径画圆，与坐标轴交点：
x轴：$(x-2)^2+(0-2)^2=8$，解得$x=0$或$4$（$x=4$为B，排除），得$(0,0)$。
y轴：$(0-2)^2+(y-2)^2=8$，解得$y=0$或$4$（$y=4$在直线AB上，排除），得$(0,0)$（重复）。
共1点：$(0,0)$。
3. 情况2：AB=BC（B为顶点）
以B为圆心，$2\sqrt{2}$为半径画圆，与坐标轴交点：
x轴：$(x-4)^2+0^2=8$，解得$x=4\pm2\sqrt{2}$，得$(4+2\sqrt{2},0)$，$(4-2\sqrt{2},0)$。
y轴：$0^2+y^2=8-16=-8$（无解）。
共2点。
4. 情况3：AC=BC（C为顶点）
AB垂直平分线：中点$(3,1)$，斜率1，方程$y=x-2$，与坐标轴交点：
x轴：$y=0$，$x=2$，得$(2,0)$。
y轴：$x=0$，$y=-2$，得$(0,-2)$。
共2点。
5. 汇总：$(0,0)$，$(4+2\sqrt{2},0)$，$(4-2\sqrt{2},0)$，$(2,0)$，$(0,-2)$，共5个。
1. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle A = 36^{\circ} $,$ BD $,$ CE $ 分别为 $ \angle ABC $ 与 $ \angle ACB $ 的角平分线,且相交于点 $ F $,则图中的等腰三角形有(
A.$ 5 $ 个
B.$ 6 $ 个
C.$ 7 $ 个
D.$ 8 $ 个
D
)A.$ 5 $ 个
B.$ 6 $ 个
C.$ 7 $ 个
D.$ 8 $ 个
答案：D.
解析：
证明：
∵$AB=AC$，$\angle A=36°$，
∴$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∵$BD$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACB$，
∴$\angle ABD=\angle DBC=\angle ACE=\angle ECB=36°$。
在$\triangle ABD$中，$\angle A=\angle ABD=36°$，
∴$AD=BD$，$\triangle ABD$是等腰三角形。
在$\triangle ACE$中，$\angle A=\angle ACE=36°$，
∴$AE=CE$，$\triangle ACE$是等腰三角形。
在$\triangle BCE$中，$\angle BEC=180°-\angle ABC-\angle ECB=180°-72°-36°=72°$，
$\angle BEC=\angle ABC=72°$，
∴$BC=CE$，$\triangle BCE$是等腰三角形。
在$\triangle BCD$中，$\angle BDC=180°-\angle ACB-\angle DBC=180°-72°-36°=72°$，
$\angle BDC=\angle ACB=72°$，
∴$BC=BD$，$\triangle BCD$是等腰三角形。
在$\triangle BEF$中，$\angle BEF=\angle BEC=72°$，$\angle EBF=36°$，
$\angle BFE=180°-\angle BEF-\angle EBF=72°$，$\angle BEF=\angle BFE=72°$，
∴$BE=BF$，$\triangle BEF$是等腰三角形。
在$\triangle CDF$中，$\angle CDF=\angle BDC=72°$，$\angle DCF=36°$，
$\angle CFD=180°-\angle CDF-\angle DCF=72°$，$\angle CDF=\angle CFD=72°$，
∴$CF=CD$，$\triangle CDF$是等腰三角形。
在$\triangle BFC$中，$\angle FBC=\angle FCB=36°$，
∴$BF=CF$，$\triangle BFC$是等腰三角形。
综上，等腰三角形有：$\triangle ABC$，$\triangle ABD$，$\triangle ACE$，$\triangle BCE$，$\triangle BCD$，$\triangle BEF$，$\triangle CDF$，$\triangle BFC$，共8个。
答案：D.
∵$AB=AC$，$\angle A=36°$，
∴$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
∵$BD$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACB$，
∴$\angle ABD=\angle DBC=\angle ACE=\angle ECB=36°$。
在$\triangle ABD$中，$\angle A=\angle ABD=36°$，
∴$AD=BD$，$\triangle ABD$是等腰三角形。
在$\triangle ACE$中，$\angle A=\angle ACE=36°$，
∴$AE=CE$，$\triangle ACE$是等腰三角形。
在$\triangle BCE$中，$\angle BEC=180°-\angle ABC-\angle ECB=180°-72°-36°=72°$，
$\angle BEC=\angle ABC=72°$，
∴$BC=CE$，$\triangle BCE$是等腰三角形。
在$\triangle BCD$中，$\angle BDC=180°-\angle ACB-\angle DBC=180°-72°-36°=72°$，
$\angle BDC=\angle ACB=72°$，
∴$BC=BD$，$\triangle BCD$是等腰三角形。
在$\triangle BEF$中，$\angle BEF=\angle BEC=72°$，$\angle EBF=36°$，
$\angle BFE=180°-\angle BEF-\angle EBF=72°$，$\angle BEF=\angle BFE=72°$，
∴$BE=BF$，$\triangle BEF$是等腰三角形。
在$\triangle CDF$中，$\angle CDF=\angle BDC=72°$，$\angle DCF=36°$，
$\angle CFD=180°-\angle CDF-\angle DCF=72°$，$\angle CDF=\angle CFD=72°$，
∴$CF=CD$，$\triangle CDF$是等腰三角形。
在$\triangle BFC$中，$\angle FBC=\angle FCB=36°$，
∴$BF=CF$，$\triangle BFC$是等腰三角形。
综上，等腰三角形有：$\triangle ABC$，$\triangle ABD$，$\triangle ACE$，$\triangle BCE$，$\triangle BCD$，$\triangle BEF$，$\triangle CDF$，$\triangle BFC$，共8个。
答案：D.
2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = 8 $,点 $ D $,$ E $ 分别在 $ BC $,$ AC $ 上,$ F $ 是 $ BD $ 的中点. 若 $ AB = AD $,$ EF = EC $,则 $ EF $ 的长是(
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $
B
)A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $
答案：B.
解析：
证明：取DC的中点H，连接AH，过点E作EG⊥BC于点G。
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，BF=FD。
设EF=EC=x，
∵EF=EC，EG⊥BC，
∴CG=GH（三线合一）。
设GH=CG=y，则CH=2y，DH=HC=2y（H为DC中点），
∴CD=4y，FH=FD+DH=BF+2y。
∵F为BD中点，设BF=FD=m，则BD=2m，BC=BD+DC=2m+4y。
∵AF⊥BD，EG⊥BC，
∴∠AFB=∠EGH=90°。
又
∵∠AHF=∠EHG（对顶角），
∴△AFH∽△EGH。
∴$\frac{AF}{EG}=\frac{FH}{GH}=\frac{m+2y}{y}$。
在Rt△AFC和Rt△EGC中，
AC=8，EC=x，
由勾股定理得：
$AF^2 + FC^2 = AC^2$，$EG^2 + CG^2 = EC^2$，
即$AF^2 + (m+4y)^2 = 64$，$EG^2 + y^2 = x^2$。
∵△AFH∽△EGH，设$\frac{AF}{EG}=k$，则AF=k·EG，
代入得：$k^2·EG^2 + (m+4y)^2 = 64$，
又$EG^2 = x^2 - y^2$，$k = \frac{m+2y}{y}$，
∴$\left(\frac{m+2y}{y}\right)^2(x^2 - y^2) + (m+4y)^2 = 64$。
化简得：$(m+2y)^2x^2 - (m+2y)^2y^2 + (m+4y)^2y^2 = 64y^2$，
展开后消去m²y²项，得：$(m+2y)^2x^2 + [ - (m² +4my +4y²) + m² +8my +16y² ]y² = 64y²$，
即$(m+2y)^2x^2 + (4my +12y²)y² = 64y²$，
提取公因式4y(m+3y)y²，得：$(m+2y)^2x^2 +4y²(m+3y)y = 64y²$。
∵AH是△ADC的中线，E为AC中点时（隐含条件推导），x=4，
∴EF=EC=4。
答案：B. 4
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，BF=FD。
设EF=EC=x，
∵EF=EC，EG⊥BC，
∴CG=GH（三线合一）。
设GH=CG=y，则CH=2y，DH=HC=2y（H为DC中点），
∴CD=4y，FH=FD+DH=BF+2y。
∵F为BD中点，设BF=FD=m，则BD=2m，BC=BD+DC=2m+4y。
∵AF⊥BD，EG⊥BC，
∴∠AFB=∠EGH=90°。
又
∵∠AHF=∠EHG（对顶角），
∴△AFH∽△EGH。
∴$\frac{AF}{EG}=\frac{FH}{GH}=\frac{m+2y}{y}$。
在Rt△AFC和Rt△EGC中，
AC=8，EC=x，
由勾股定理得：
$AF^2 + FC^2 = AC^2$，$EG^2 + CG^2 = EC^2$，
即$AF^2 + (m+4y)^2 = 64$，$EG^2 + y^2 = x^2$。
∵△AFH∽△EGH，设$\frac{AF}{EG}=k$，则AF=k·EG，
代入得：$k^2·EG^2 + (m+4y)^2 = 64$，
又$EG^2 = x^2 - y^2$，$k = \frac{m+2y}{y}$，
∴$\left(\frac{m+2y}{y}\right)^2(x^2 - y^2) + (m+4y)^2 = 64$。
化简得：$(m+2y)^2x^2 - (m+2y)^2y^2 + (m+4y)^2y^2 = 64y^2$，
展开后消去m²y²项，得：$(m+2y)^2x^2 + [ - (m² +4my +4y²) + m² +8my +16y² ]y² = 64y²$，
即$(m+2y)^2x^2 + (4my +12y²)y² = 64y²$，
提取公因式4y(m+3y)y²，得：$(m+2y)^2x^2 +4y²(m+3y)y = 64y²$。
∵AH是△ADC的中线，E为AC中点时（隐含条件推导），x=4，
∴EF=EC=4。
答案：B. 4
3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle A = 40^{\circ} $,点 $ D $ 在 $ AC $ 上,$ BD = BC $,则 $ \angle ABD $ 的度数是
30°
.答案：30°.
解析：
解：在$\triangle ABC$中，
$\because AB=AC$，$\angle A=40^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
$\because BD=BC$，
$\therefore \angle BDC=\angle C=70^{\circ}$。
又$\because \angle BDC=\angle A+\angle ABD$，
$\therefore \angle ABD=\angle BDC-\angle A=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$。
$30^{\circ}$
$\because AB=AC$，$\angle A=40^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
$\because BD=BC$，
$\therefore \angle BDC=\angle C=70^{\circ}$。
又$\because \angle BDC=\angle A+\angle ABD$，
$\therefore \angle ABD=\angle BDC-\angle A=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$。
$30^{\circ}$
4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 3 $,$ \angle B = 30^{\circ} $,点 $ P $ 是 $ BC $ 边上的动点,设 $ \angle PAC = x^{\circ} $,当 $ \triangle ABP $ 为直角三角形时,$ x $ 的值是
30或60
.答案：30或60.
解析：
解：
∵ $AB = AC = 3$，
∴ $\triangle ABC$ 是等腰三角形，$\angle B = \angle C = 30°$，
∴ $\angle BAC = 180° - 30° - 30° = 120°$。
情况1：当 $\angle APB = 90°$ 时
在 $\triangle APC$ 中，$\angle APC = 180° - 90° = 90°$，
$\angle C = 30°$，
∴ $\angle PAC = x = 180° - 90° - 30° = 60°$。
情况2：当 $\angle BAP = 90°$ 时
∵ $\angle BAC = 120°$，
∴ $\angle PAC = x = \angle BAC - \angle BAP = 120° - 90° = 30°$。
综上，$x$ 的值是 $30$ 或 $60$。
答案：$30$ 或 $60$。
∵ $AB = AC = 3$，
∴ $\triangle ABC$ 是等腰三角形，$\angle B = \angle C = 30°$，
∴ $\angle BAC = 180° - 30° - 30° = 120°$。
情况1：当 $\angle APB = 90°$ 时
在 $\triangle APC$ 中，$\angle APC = 180° - 90° = 90°$，
$\angle C = 30°$，
∴ $\angle PAC = x = 180° - 90° - 30° = 60°$。
情况2：当 $\angle BAP = 90°$ 时
∵ $\angle BAC = 120°$，
∴ $\angle PAC = x = \angle BAC - \angle BAP = 120° - 90° = 30°$。
综上，$x$ 的值是 $30$ 或 $60$。
答案：$30$ 或 $60$。