如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BA = BC $,$ D $ 在边 $ CB $ 上,且 $ DB = DA = AC $.
(1)如图(1),$ \angle B = $
(1)如图(1),$ \angle B = $
36
$^{\circ}$,$ \angle C = $72
$^{\circ}$；答案：36;72.
解析：
设$\angle B = x$。
因为$BA = BC$，所以$\angle BAC=\angle C$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC+\angle C+\angle B=180^{\circ}$，则$\angle C=\frac{180^{\circ}-x}{2}$。
因为$DB = DA$，所以$\angle DAB=\angle B = x$，则$\angle ADC=\angle B+\angle DAB=2x$。
因为$DA = AC$，所以$\angle C=\angle ADC=2x$。
所以$\frac{180^{\circ}-x}{2}=2x$，解得$x = 36^{\circ}$，则$\angle C=2x=72^{\circ}$。
36;72.
因为$BA = BC$，所以$\angle BAC=\angle C$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC+\angle C+\angle B=180^{\circ}$，则$\angle C=\frac{180^{\circ}-x}{2}$。
因为$DB = DA$，所以$\angle DAB=\angle B = x$，则$\angle ADC=\angle B+\angle DAB=2x$。
因为$DA = AC$，所以$\angle C=\angle ADC=2x$。
所以$\frac{180^{\circ}-x}{2}=2x$，解得$x = 36^{\circ}$，则$\angle C=2x=72^{\circ}$。
36;72.
(2)如图(2),若 $ M $ 为线段 $ BC $ 上的点,过点 $ M $ 作直线 $ MH \perp AD $ 交 $ AD $ 的延长线于点 $ H $,分别交直线 $ AB $,$ AC $ 的延长线于点 $ N $,$ E $.
① 求证：$ \triangle ANE $ 是等腰三角形；
② 试写出线段 $ BN $,$ CE $,$ CD $ 之间的数量关系,并加以证明.
① 求证：$ \triangle ANE $ 是等腰三角形；
② 试写出线段 $ BN $,$ CE $,$ CD $ 之间的数量关系,并加以证明.
答案：① 由
(1)可知∠BAD=∠CAD=36°,且∠AHN=∠AHE=90°,可求得∠ANH=∠AEH=54°,可得AN=AE;
② CD=BN+CE.证明:由①知AN=AE,又
∵ BA=BC,DB=AC,
∴ BN=AB-AN=BC-AE,CE=AE-AC=AE-BD,
∴ BN+CE=BC-BD=CD,即CD=BN+CE.
(1)可知∠BAD=∠CAD=36°,且∠AHN=∠AHE=90°,可求得∠ANH=∠AEH=54°,可得AN=AE;
② CD=BN+CE.证明:由①知AN=AE,又
∵ BA=BC,DB=AC,
∴ BN=AB-AN=BC-AE,CE=AE-AC=AE-BD,
∴ BN+CE=BC-BD=CD,即CD=BN+CE.
1. 等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于
60
°。答案：60
2. 已知在△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°,BC= 3cm,则AB=
6
cm。答案：6
解析：
在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm。
因为在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠A=30°，其对边为BC，斜边为AB，所以BC=$\frac{1}{2}$AB。
则AB=2BC=2×3=6cm。
6
因为在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠A=30°，其对边为BC，斜边为AB，所以BC=$\frac{1}{2}$AB。
则AB=2BC=2×3=6cm。
6
3. 如图,已知直线$l_1//l_2,$将等边三角形如图所示放置,若∠α= 40°,则∠β的度数为
20°
。答案：20°
解析：
解：过等边三角形的顶点作直线$l_3 // l_1$，
因为$l_1 // l_2$，所以$l_3 // l_2$。
等边三角形内角为$60°$，
由平行线性质得：$\angle \beta = 60° - \angle \alpha$，
已知$\angle \alpha = 40°$，
则$\angle \beta = 60° - 40° = 20°$。
20°
因为$l_1 // l_2$，所以$l_3 // l_2$。
等边三角形内角为$60°$，
由平行线性质得：$\angle \beta = 60° - \angle \alpha$，
已知$\angle \alpha = 40°$，
则$\angle \beta = 60° - 40° = 20°$。
20°
问题 如图,在等边三角形ABC中,点D是AC的中点,点E为BC延长线上一点,且CE= CD,DM⊥BC,垂足是M。求证：点M是BE的中点。
名师指导
由等腰三角形的性质可得∠E= ∠CDE,又由等边三角形的性质可得∠ACB= 60°,∠DBC= 30°,从而易得∠DBE= ∠E,进而可得DB= DE,利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得结论。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
证明：
名师指导
由等腰三角形的性质可得∠E= ∠CDE,又由等边三角形的性质可得∠ACB= 60°,∠DBC= 30°,从而易得∠DBE= ∠E,进而可得DB= DE,利用等腰三角形“三线合一”的性质可证得结论。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
证明：
答案：证明：
$\because \triangle ABC$是等边三角形，$D$是$AC$的中点，
$\therefore \angle ACB=60°,\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 30°$。
$\because CE = CD$，
$\therefore \angle E=\angle CDE$。
$\because \angle ACB=\angle E+\angle CDE = 60°$，
$\therefore \angle E = 30°$。
$\therefore \angle DBE=\angle E$。
$\therefore DB = DE$。
又$\because DM\perp BE$，
$\therefore M$是$BE$的中点（等腰三角形三线合一）。
$\because \triangle ABC$是等边三角形，$D$是$AC$的中点，
$\therefore \angle ACB=60°,\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 30°$。
$\because CE = CD$，
$\therefore \angle E=\angle CDE$。
$\because \angle ACB=\angle E+\angle CDE = 60°$，
$\therefore \angle E = 30°$。
$\therefore \angle DBE=\angle E$。
$\therefore DB = DE$。
又$\because DM\perp BE$，
$\therefore M$是$BE$的中点（等腰三角形三线合一）。