7. 已知,在△ABC中,∠B= 60°,D为AB边上一点,CD= CA。
(1)如图(1),若AD= 4,CB：BD= 10：3,求BC的长；
(2)如图(2),以AC为边作等边△ACG,AG交边BC于点F,连接DF,求证：GF= DF。
(1)如图(1),若AD= 4,CB：BD= 10：3,求BC的长；
(2)如图(2),以AC为边作等边△ACG,AG交边BC于点F,连接DF,求证：GF= DF。
答案：
(1)如图,过点C作CH⊥AB,垂足为H.
∵AC=DC,CH⊥AB,
∴HD=$\frac{1}{2}$AD=2.
∵CB:BD=10:3,
∴可设CB = 10x,BD = 3x.
∵∠B=60°,
∴∠BCH = 30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$BC,
∴2 + 3x=$\frac{1}{2}$×10x,解得x=1,
∴BC=10x=10.
(2)
∵△ACG为等边三角形，
∴CG=CA=CD,∠G=∠CAG=60°.
∵∠CAG+∠ACB+∠AFC=∠B+∠ACB+∠CAB=180°,又
∵∠CAG=∠B=60°,
∴∠AFC=∠CAB.
∵CA=CD,
∴∠CAB=∠ADC,
∴∠AFC=∠ADC.
∵∠AFC=∠G+∠FCG,∠ADC=∠B+∠DCF,∠G=∠B,
∴∠FCG=∠FCD.在△CDF和△CGF中，$\left\{\begin{array}{l} CD=CG,\\ ∠FCD=∠FCG,\\ CF=CF,\end{array}\right.$
∴△CDF≌△CGF,
∴GF=DF.
(1)如图,过点C作CH⊥AB,垂足为H.
∵AC=DC,CH⊥AB,
∴HD=$\frac{1}{2}$AD=2.
∵CB:BD=10:3,
∴可设CB = 10x,BD = 3x.
∵∠B=60°,
∴∠BCH = 30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$BC,
∴2 + 3x=$\frac{1}{2}$×10x,解得x=1,
∴BC=10x=10.
(2)
∵△ACG为等边三角形，
∴CG=CA=CD,∠G=∠CAG=60°.
∵∠CAG+∠ACB+∠AFC=∠B+∠ACB+∠CAB=180°,又
∵∠CAG=∠B=60°,
∴∠AFC=∠CAB.
∵CA=CD,
∴∠CAB=∠ADC,
∴∠AFC=∠ADC.
∵∠AFC=∠G+∠FCG,∠ADC=∠B+∠DCF,∠G=∠B,
∴∠FCG=∠FCD.在△CDF和△CGF中，$\left\{\begin{array}{l} CD=CG,\\ ∠FCD=∠FCG,\\ CF=CF,\end{array}\right.$
∴△CDF≌△CGF,
∴GF=DF.
8. 【问题发现】
(1)如图(1),△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE。
① ∠AEB的度数为
② 线段AD,BE之间的数量关系为
【拓展探究】
(2)如图(2),△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB= ∠DCE= 90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由。
(1)如图(1),△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE。
① ∠AEB的度数为
60
度；② 线段AD,BE之间的数量关系为
AD=BE
。【拓展探究】
(2)如图(2),△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB= ∠DCE= 90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由。
答案：
(1)①60;②AD=BE.
(2)∠AEB = 90°;AE=2CM+BE.理由:
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB−∠DCB = ∠DCE−∠DCB,即∠ACD=∠BCE.
∴△ACD≌△BCE.
∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.
∴∠AEB=∠BEC−∠AEC=135°−45°=90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME.
∴DE=2CM.
∴AE=DE + AD=2CM+BE.
(1)①60;②AD=BE.
(2)∠AEB = 90°;AE=2CM+BE.理由:
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB−∠DCB = ∠DCE−∠DCB,即∠ACD=∠BCE.
∴△ACD≌△BCE.
∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.
∴∠AEB=∠BEC−∠AEC=135°−45°=90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME.
∴DE=2CM.
∴AE=DE + AD=2CM+BE.
如图,D是等边三角形ABC外一点。若BD= 8,CD= 6,连接AD,则AD的最大值与最小值的差为
12
。答案：12
解析：
将△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，连接DE。
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE。
在△DCE中，CE=BD=8，CD=6，
根据三角形三边关系，|CE-CD|≤DE≤CE+CD，
即|8-6|≤DE≤8+6，
∴2≤DE≤14，
∴AD的最大值为14，最小值为2，
∴AD的最大值与最小值的差为14-2=12。
12
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE。
在△DCE中，CE=BD=8，CD=6，
根据三角形三边关系，|CE-CD|≤DE≤CE+CD，
即|8-6|≤DE≤8+6，
∴2≤DE≤14，
∴AD的最大值为14，最小值为2，
∴AD的最大值与最小值的差为14-2=12。
12