1. 有下列给出的三角形：(1)三个外角都相等的三角形；(2)有两个内角为60°的三角形；(3)一边上的高也是这条边上的中线的三角形；(4)有一个角是60°的等腰三角形。其中是等边三角形的个数有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案：B
解析：
(1)三个外角都相等，则三个内角都相等，是等边三角形；
(2)有两个内角为60°，则第三个内角为180°-60°-60°=60°，三个内角都相等，是等边三角形；
(3)一边上的高也是这条边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形；
(4)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
是等边三角形的有
(1)
(2)
(4)，共3个。
B
2. 如图,已知∠AOB= 30°,点P在∠AOB内部$,P_1$与P关于OB对称$,P_2$与P关于OA对称,则$P_1,O,P_2$三点所构成的三角形的三个内角的大小关系是
相等
。答案：相等
解析：
证明：连接OP。
∵点P₁与P关于OB对称，
∴OP₁=OP，∠P₁OB=∠POB。
∵点P₂与P关于OA对称，
∴OP₂=OP，∠P₂OA=∠POA。
∵∠AOB=30°，
∴∠P₁OP₂=∠P₁OB+∠POB+∠P₂OA+∠POA=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB=60°。
∵OP₁=OP₂，∠P₁OP₂=60°，
∴△P₁OP₂是等边三角形。
∴△P₁OP₂的三个内角都等于60°，即三个内角相等。
相等
∵点P₁与P关于OB对称，
∴OP₁=OP，∠P₁OB=∠POB。
∵点P₂与P关于OA对称，
∴OP₂=OP，∠P₂OA=∠POA。
∵∠AOB=30°，
∴∠P₁OP₂=∠P₁OB+∠POB+∠P₂OA+∠POA=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB=60°。
∵OP₁=OP₂，∠P₁OP₂=60°，
∴△P₁OP₂是等边三角形。
∴△P₁OP₂的三个内角都等于60°，即三个内角相等。
相等
3. 如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在AB,BC,CA的延长线上,且BD= CE= AF,则△DEF的三边大小关系是
相等
。答案：相等
解析：
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠FAD=∠DBE=∠ECF=120°。
∵BD=CE=AF，
设AB=BC=CA=a，BD=CE=AF=b，
则AD=AB+BD=a+b，BE=BC+CE=a+b，CF=CA+AF=a+b，
∴AD=BE=CF。
在△FAD和△DBE中，
AF=BD，∠FAD=∠DBE，AD=BE，
∴△FAD≌△DBE(SAS)，
∴FD=ED。
同理可证△DBE≌△ECF(SAS)，
∴ED=FE。
∴FD=ED=FE，即△DEF的三边相等。
相等
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠FAD=∠DBE=∠ECF=120°。
∵BD=CE=AF，
设AB=BC=CA=a，BD=CE=AF=b，
则AD=AB+BD=a+b，BE=BC+CE=a+b，CF=CA+AF=a+b，
∴AD=BE=CF。
在△FAD和△DBE中，
AF=BD，∠FAD=∠DBE，AD=BE，
∴△FAD≌△DBE(SAS)，
∴FD=ED。
同理可证△DBE≌△ECF(SAS)，
∴ED=FE。
∴FD=ED=FE，即△DEF的三边相等。
相等
4. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,∠CAB的平分线交BC于点D,DE是AB的垂直平分线,垂足为E。若BC= 3,则DE的长为
1
。答案：1
解析：
证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，∠B=∠DAB。
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB=∠B。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B=90°，
即3∠B=90°，∠B=30°。
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE。
设DE=DC=x，则DB=3-x。
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴DE=1/2 DB，即x=1/2 (3-x)，
解得x=1。
故DE的长为1。
1
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，∠B=∠DAB。
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB=∠B。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B=90°，
即3∠B=90°，∠B=30°。
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE。
设DE=DC=x，则DB=3-x。
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴DE=1/2 DB，即x=1/2 (3-x)，
解得x=1。
故DE的长为1。
1
5. 已知一个三角形任何一个内角的平分线都垂直于这个角的对边,这个三角形是
等边三角形
。答案：等边三角形
6. 如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在AB,BC,CA上,且AD= BE= CF。求证：△DEF是等边三角形。
答案：证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°.
∵AD=BE=CF,
∴BD=CE=AF.在△ADF和△BED中，$\left\{\begin{array}{l} AD=BE,\\ ∠A=∠B,\\ AF=BD,\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BED.
∴DF=ED.同理可证DF=FE.
∴DF=ED=FE.
∴△DEF是等边三角形.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°.
∵AD=BE=CF,
∴BD=CE=AF.在△ADF和△BED中，$\left\{\begin{array}{l} AD=BE,\\ ∠A=∠B,\\ AF=BD,\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BED.
∴DF=ED.同理可证DF=FE.
∴DF=ED=FE.
∴△DEF是等边三角形.
7. 如图,在△ABC中,∠B= 2∠C,BC= 2AB,AD是中线。求证：△ABD是等边三角形。
答案：提示:作∠ABC的平分线BE交AC于点E,连接ED.证△ABE≌△DBE(SAS),得∠BAE=∠BDE=90°,最后得∠ABC=60°.
解析：
证明：作∠ABC的平分线BE交AC于点E，连接ED。
∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABE=∠EBC=∠C。
∴EB=EC。
∵AD是中线，BC=2AB，
∴BD=DC=AB。
在△ABE和△DBE中，
AB=DB，∠ABE=∠DBE，BE=BE，
∴△ABE≌△DBE(SAS)。
∴∠BAE=∠BDE。
设∠C=α，则∠ABC=2α，∠BAC=180°-3α。
∴∠BDE=180°-3α。
∵∠BDE+∠EDC=180°，
∴∠EDC=3α。
∵EB=EC，ED=ED，DB=DC，
∴△EDB≌△EDC(SSS)。
∴∠EDB=∠EDC。
∴180°-3α=3α，解得α=30°。
∴∠ABC=60°。
∵AB=BD，∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形。
∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABE=∠EBC=∠C。
∴EB=EC。
∵AD是中线，BC=2AB，
∴BD=DC=AB。
在△ABE和△DBE中，
AB=DB，∠ABE=∠DBE，BE=BE，
∴△ABE≌△DBE(SAS)。
∴∠BAE=∠BDE。
设∠C=α，则∠ABC=2α，∠BAC=180°-3α。
∴∠BDE=180°-3α。
∵∠BDE+∠EDC=180°，
∴∠EDC=3α。
∵EB=EC，ED=ED，DB=DC，
∴△EDB≌△EDC(SSS)。
∴∠EDB=∠EDC。
∴180°-3α=3α，解得α=30°。
∴∠ABC=60°。
∵AB=BD，∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形。