若 $(a^{m + 1}b^{n + 2}) \cdot (a^{2n - 1}b^{2m}) = a^{5}b^{3}$,求 $m + n$ 的值.
答案：2
解析：
$(a^{m + 1}b^{n + 2}) \cdot (a^{2n - 1}b^{2m})$
$=a^{(m+1)+(2n-1)}b^{(n+2)+2m}$
$=a^{m+2n}b^{2m+n+2}$
因为结果为$a^{5}b^{3}$，所以可得方程组：
$\begin{cases}m + 2n = 5\\2m + n + 2 = 3\end{cases}$
由第二个方程得：$2m + n = 1$，即$n = 1 - 2m$
将$n = 1 - 2m$代入第一个方程：$m + 2(1 - 2m) = 5$
$m + 2 - 4m = 5$
$-3m = 3$
$m = -1$
则$n = 1 - 2×(-1) = 3$
所以$m + n = -1 + 3 = 2$
2
$=a^{(m+1)+(2n-1)}b^{(n+2)+2m}$
$=a^{m+2n}b^{2m+n+2}$
因为结果为$a^{5}b^{3}$，所以可得方程组：
$\begin{cases}m + 2n = 5\\2m + n + 2 = 3\end{cases}$
由第二个方程得：$2m + n = 1$，即$n = 1 - 2m$
将$n = 1 - 2m$代入第一个方程：$m + 2(1 - 2m) = 5$
$m + 2 - 4m = 5$
$-3m = 3$
$m = -1$
则$n = 1 - 2×(-1) = 3$
所以$m + n = -1 + 3 = 2$
2
1. 下列计算正确的是 (
A.$-2ab(3a - b) = -6a^{2}b - 2ab^{2}$
B.$-a(4a^{2} - 2a - 1) = -4a^{3} + 2a^{2}$
C.$-6x(x - 3y) = -6x^{2} + 18xy$
D.$-2a^{2}(\frac{1}{2}ab + b^{2}) = -a^{3} - 2a^{2}b^{2}$
C
)A.$-2ab(3a - b) = -6a^{2}b - 2ab^{2}$
B.$-a(4a^{2} - 2a - 1) = -4a^{3} + 2a^{2}$
C.$-6x(x - 3y) = -6x^{2} + 18xy$
D.$-2a^{2}(\frac{1}{2}ab + b^{2}) = -a^{3} - 2a^{2}b^{2}$
答案：C
2. 化简 $x(y - x) - y(x - y)$ 得 (
A.$x^{2} - y^{2}$
B.$y^{2} - x^{2}$
C.$2xy$
D.$-2xy$
B
)A.$x^{2} - y^{2}$
B.$y^{2} - x^{2}$
C.$2xy$
D.$-2xy$
答案：B
解析：
$x(y - x) - y(x - y)$
$=xy - x^{2} - xy + y^{2}$
$=y^{2} - x^{2}$
B
$=xy - x^{2} - xy + y^{2}$
$=y^{2} - x^{2}$
B
3. (1) $-3x^{3}(5x^{2} - 1) = $
(2) $-t(3t - 2t^{2}) = $
(3) $2x(x^{2} - x + 5) = $
(4) $-5a^{3}(-a^{2} + 2a - 1) = $
$-15x^{5}+3x^{3}$
；(2) $-t(3t - 2t^{2}) = $
$-3t^{2}+2t^{3}$
；(3) $2x(x^{2} - x + 5) = $
$2x^{3}-2x^{2}+10x$
；(4) $-5a^{3}(-a^{2} + 2a - 1) = $
$5a^{5}-10a^{4}+5a^{3}$
.答案：
(1)$-15x^{5}+3x^{3}$；
(2)$-3t^{2}+2t^{3}$；
(3)$2x^{3}-2x^{2}+10x$；
(4)$5a^{5}-10a^{4}+5a^{3}$
(1)$-15x^{5}+3x^{3}$；
(2)$-3t^{2}+2t^{3}$；
(3)$2x^{3}-2x^{2}+10x$；
(4)$5a^{5}-10a^{4}+5a^{3}$
4. 已知一个圆柱体的高为 $(a + 3b)$ cm,底面半径为 $b$ cm,求该圆柱体的表面积.
答案：$(2\pi ab+8b^{2})\ cm^{2}$
解析：
圆柱体表面积公式为$2\pi r^2 + 2\pi rh$（其中$r$为底面半径，$h$为高）。
已知底面半径$r = b\ cm$，高$h=(a + 3b)\ cm$。
底面积部分：$2\pi r^2 = 2\pi b^2\ cm^2$。
侧面积部分：$2\pi rh = 2\pi b(a + 3b) = 2\pi ab + 6\pi b^2\ cm^2$。
表面积为底面积与侧面积之和：$2\pi b^2 + 2\pi ab + 6\pi b^2 = 2\pi ab + 8\pi b^2\ cm^2$。
1
已知底面半径$r = b\ cm$，高$h=(a + 3b)\ cm$。
底面积部分：$2\pi r^2 = 2\pi b^2\ cm^2$。
侧面积部分：$2\pi rh = 2\pi b(a + 3b) = 2\pi ab + 6\pi b^2\ cm^2$。
表面积为底面积与侧面积之和：$2\pi b^2 + 2\pi ab + 6\pi b^2 = 2\pi ab + 8\pi b^2\ cm^2$。
1
问题 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面,第 1 次铺 2 块,如图(1)；第 2 次把第 1 次铺的完全围起来,如图(2)；第 3 次把第 2 次铺的完全围起来,如图(3)……依此方法,第 $n$ 次铺完后,用字母 $n$ 表示第 $n$ 次镶嵌所使用的木块数为
名师指导
根据题目要求,第 1 次铺 2 块,即 $1 × 2 = 2$；第 2 次把第 1 次铺的完全围起来,两次共用去 $3 × 4 = 12$(块)；第 3 次把第 2 次铺的完全围起来,前 3 次共用去 $5 × 6 = 30$(块)……第 $n$ 次铺完后,前 $n$ 次一共用去木块数为 $2n(2n - 1)$,由此可求得第 $n$ 次镶嵌所使用的木块数.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：
$8n - 6$
块.名师指导
根据题目要求,第 1 次铺 2 块,即 $1 × 2 = 2$；第 2 次把第 1 次铺的完全围起来,两次共用去 $3 × 4 = 12$(块)；第 3 次把第 2 次铺的完全围起来,前 3 次共用去 $5 × 6 = 30$(块)……第 $n$ 次铺完后,前 $n$ 次一共用去木块数为 $2n(2n - 1)$,由此可求得第 $n$ 次镶嵌所使用的木块数.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案：$8n - 6$
解析：
解：第n次铺完后，前n次一共用去木块数为$2n(2n - 1)$，前$n - 1$次一共用去木块数为$2(n - 1)(2(n - 1)-1)=2(n - 1)(2n - 3)$。
第n次镶嵌所使用的木块数为：
$\begin{aligned}&2n(2n - 1)-2(n - 1)(2n - 3)\\=&4n^2 - 2n - 2(2n^2 - 5n + 3)\\=&4n^2 - 2n - 4n^2 + 10n - 6\\=&8n - 6\end{aligned}$
第n次镶嵌所使用的木块数为：
$\begin{aligned}&2n(2n - 1)-2(n - 1)(2n - 3)\\=&4n^2 - 2n - 2(2n^2 - 5n + 3)\\=&4n^2 - 2n - 4n^2 + 10n - 6\\=&8n - 6\end{aligned}$