9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的高,$AE是\angle BAC$的平分线.
(1)若$\angle B = 65^{\circ}$,$\angle C = 45^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；
(2)若$\angle B ＞ \angle C$,猜想$\angle B$,$\angle C和\angle DAE$之间有怎样的数量关系,并说明你的理由.
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(1)若$\angle B = 65^{\circ}$,$\angle C = 45^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；
(2)若$\angle B ＞ \angle C$,猜想$\angle B$,$\angle C和\angle DAE$之间有怎样的数量关系,并说明你的理由.
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答案：（1）∠DAE的度数是10°；（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$(∠B-∠C). 理由：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAC=90°-∠C.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C.又
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C)=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-∠C-(90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C)=$\frac{1}{2}$(∠B-∠C).
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAC=90°-∠C.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C.又
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C)=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-∠C-(90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C)=$\frac{1}{2}$(∠B-∠C).
当三角形中一个内角是另一个内角的$3$倍时,我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”中有一个内角为$108^{\circ}$,求这个“梦想三角形”的最小内角的度数.
答案：36°或18°
解析：
情况一：设$108^{\circ}$内角是另一个内角的$3$倍，
则另一个内角为$108^{\circ}÷3=36^{\circ}$，
第三个内角为$180^{\circ}-108^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$，
此时最小内角为$36^{\circ}$；
情况二：设另一个内角是$108^{\circ}$内角的$3$倍，
则另一个内角为$108^{\circ}×3=324^{\circ}$，
因为$324^{\circ}＞180^{\circ}$，不符合三角形内角和定理，舍去；
情况三：设除$108^{\circ}$外的两个内角中，一个是另一个的$3$倍，
设较小内角为$x$，则另一个内角为$3x$，
$x+3x+108^{\circ}=180^{\circ}$，
$4x=72^{\circ}$，
$x=18^{\circ}$，
此时最小内角为$18^{\circ}$；
综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为$36^{\circ}$或$18^{\circ}$。
则另一个内角为$108^{\circ}÷3=36^{\circ}$，
第三个内角为$180^{\circ}-108^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$，
此时最小内角为$36^{\circ}$；
情况二：设另一个内角是$108^{\circ}$内角的$3$倍，
则另一个内角为$108^{\circ}×3=324^{\circ}$，
因为$324^{\circ}＞180^{\circ}$，不符合三角形内角和定理，舍去；
情况三：设除$108^{\circ}$外的两个内角中，一个是另一个的$3$倍，
设较小内角为$x$，则另一个内角为$3x$，
$x+3x+108^{\circ}=180^{\circ}$，
$4x=72^{\circ}$，
$x=18^{\circ}$，
此时最小内角为$18^{\circ}$；
综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为$36^{\circ}$或$18^{\circ}$。
1. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 30^{\circ}$,$\angle B = 50^{\circ}$,延长$BC到D$,则$\angle ACD = $
80
$^{\circ}$。答案：80
解析：
解：在$\triangle ABC$中，$\angle A=30^{\circ}$，$\angle B=50^{\circ}$，
因为$\angle ACD$是$\triangle ABC$的外角，
所以$\angle ACD=\angle A+\angle B=30^{\circ}+50^{\circ}=80^{\circ}$。
80
因为$\angle ACD$是$\triangle ABC$的外角，
所以$\angle ACD=\angle A+\angle B=30^{\circ}+50^{\circ}=80^{\circ}$。
80
2. 如图,$\angle 1$,$\angle 2$,$\angle 3是\triangle ABC$的三个不同的外角,则$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = $
360
$^{\circ}$。答案：360
解析：
解：因为$\angle 1$，$\angle 2$，$\angle 3$是$\triangle ABC$的三个外角，
所以$\angle 1=180^{\circ}-\angle BAC$，$\angle 2=180^{\circ}-\angle ABC$，$\angle 3=180^{\circ}-\angle ACB$。
则$\angle 1+\angle 2+\angle 3=3×180^{\circ}-(\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB)$。
又因为三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}$，
所以$\angle 1+\angle 2+\angle 3=540^{\circ}-180^{\circ}=360^{\circ}$。
$360$
所以$\angle 1=180^{\circ}-\angle BAC$，$\angle 2=180^{\circ}-\angle ABC$，$\angle 3=180^{\circ}-\angle ACB$。
则$\angle 1+\angle 2+\angle 3=3×180^{\circ}-(\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB)$。
又因为三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}$，
所以$\angle 1+\angle 2+\angle 3=540^{\circ}-180^{\circ}=360^{\circ}$。
$360$
3. 如图,把一副常用的三角板如图所示拼在一起,那么图中$\angle ABF = $
15°
。答案：15°
解析：
解：由三角板性质可知，$\angle EFD=45°$，$\angle BCF=30°$。
在$\triangle FBC$中，$\angle FBC=180°-\angle EFD-\angle BCF=180°-45°-30°=105°$。
因为$\angle ABC=90°$，所以$\angle ABF=\angle FBC-\angle ABC=105°-90°=15°$。
$15°$
在$\triangle FBC$中，$\angle FBC=180°-\angle EFD-\angle BCF=180°-45°-30°=105°$。
因为$\angle ABC=90°$，所以$\angle ABF=\angle FBC-\angle ABC=105°-90°=15°$。
$15°$
4. 若三角形三个外角的度数比为$2:3:4$,则与之对应的三个内角的度数比为
5:3:1
。答案：5:3:1
解析：
设三角形三个外角的度数分别为$2x$，$3x$，$4x$。
因为三角形外角和为$360°$，所以$2x + 3x + 4x = 360°$，
解得$9x = 360°$，$x = 40°$。
则三个外角分别为$2×40°=80°$，$3×40°=120°$，$4×40°=160°$。
对应的三个内角分别为$180° - 80° = 100°$，$180° - 120° = 60°$，$180° - 160° = 20°$。
三个内角的度数比为$100°:60°:20° = 5:3:1$。
5:3:1
因为三角形外角和为$360°$，所以$2x + 3x + 4x = 360°$，
解得$9x = 360°$，$x = 40°$。
则三个外角分别为$2×40°=80°$，$3×40°=120°$，$4×40°=160°$。
对应的三个内角分别为$180° - 80° = 100°$，$180° - 120° = 60°$，$180° - 160° = 20°$。
三个内角的度数比为$100°:60°:20° = 5:3:1$。
5:3:1