1. 将代数式$x^{2}+4x - 1化成(x + p)^{2}+q$的形式为(
A.$(x - 2)^{2}+3$
B.$(x + 2)^{2}-4$
C.$(x + 2)^{2}-5$
D.$(x + 2)^{2}+4$
C
)A.$(x - 2)^{2}+3$
B.$(x + 2)^{2}-4$
C.$(x + 2)^{2}-5$
D.$(x + 2)^{2}+4$
答案：C.
解析：
$x^{2}+4x - 1$
$=x^{2}+4x+4 - 4 - 1$
$=(x + 2)^{2}-5$
C.
$=x^{2}+4x+4 - 4 - 1$
$=(x + 2)^{2}-5$
C.
2. 观察下列各式及其展开式：
$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$；
$(a + b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$；
$(a + b)^{4}= a^{4}+4a^{3}b + 6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$；
$(a + b)^{5}= a^{5}+5a^{4}b + 10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$；
……
请你猜想$(a + b)^{16}$的展开式中第15项的系数是(
A.$78$
B.$91$
C.$105$
D.$120$
$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$；
$(a + b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$；
$(a + b)^{4}= a^{4}+4a^{3}b + 6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$；
$(a + b)^{5}= a^{5}+5a^{4}b + 10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$；
……
请你猜想$(a + b)^{16}$的展开式中第15项的系数是(
D
)A.$78$
B.$91$
C.$105$
D.$120$
答案：D.
解析：
观察各式展开式，可知$(a + b)^n$的展开式共有$n + 1$项，各项系数为杨辉三角第$n + 1$行的数。第$k$项的系数对应杨辉三角中第$n + 1$行第$k$个数（行数、列数均从1开始）。
$(a + b)^{16}$的展开式共有17项，第15项的系数对应杨辉三角第17行第15个数。杨辉三角中第$m$行第$p$个数的组合数表示为$\binom{m - 1}{p - 1}$，故第17行第15个数为$\binom{16}{14}$。
因为$\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$，所以$\binom{16}{14} = \binom{16}{2}$。
计算$\binom{16}{2} = \frac{16×15}{2×1} = 120$。
D.
$(a + b)^{16}$的展开式共有17项，第15项的系数对应杨辉三角第17行第15个数。杨辉三角中第$m$行第$p$个数的组合数表示为$\binom{m - 1}{p - 1}$，故第17行第15个数为$\binom{16}{14}$。
因为$\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$，所以$\binom{16}{14} = \binom{16}{2}$。
计算$\binom{16}{2} = \frac{16×15}{2×1} = 120$。
D.
3. 设$a - b = -2$,求$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab$的值。
答案：2.
解析：
$\begin{aligned}\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab&=\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{2}\\&=\frac{(a - b)^{2}}{2}\\\because a - b&=-2\\\therefore 原式&=\frac{(-2)^{2}}{2}\\&=\frac{4}{2}\\&=2\end{aligned}$
问题 若$x^{2}+4x - 4 = 0$,求代数式$3(x - 2)^{2}-6(x + 1)(x - 1)$的值。
名师指导
利用完全平方公式、平方差公式化简,去括号整理后,将已知等式代入计算即可求出值。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
利用完全平方公式、平方差公式化简,去括号整理后,将已知等式代入计算即可求出值。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案：解：
首先，对代数式$3(x - 2)^{2}-6(x + 1)(x - 1)$进行化简。
利用完全平方公式，$(x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4$，
利用平方差公式，$(x + 1)(x - 1) = x^{2} - 1$，
代入原式得：
$3(x^{2} - 4x + 4) - 6(x^{2} - 1)$
$= 3x^{2} - 12x + 12 - 6x^{2} + 6$
$= -3x^{2} - 12x + 18$
$= -3(x^{2} + 4x) + 18$
由已知条件$x^{2} + 4x - 4 = 0$，可得$x^{2} + 4x = 4$，
代入化简后的代数式得：
$-3 × 4 + 18 = 6$
故原式的值为6。
首先，对代数式$3(x - 2)^{2}-6(x + 1)(x - 1)$进行化简。
利用完全平方公式，$(x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4$，
利用平方差公式，$(x + 1)(x - 1) = x^{2} - 1$，
代入原式得：
$3(x^{2} - 4x + 4) - 6(x^{2} - 1)$
$= 3x^{2} - 12x + 12 - 6x^{2} + 6$
$= -3x^{2} - 12x + 18$
$= -3(x^{2} + 4x) + 18$
由已知条件$x^{2} + 4x - 4 = 0$，可得$x^{2} + 4x = 4$，
代入化简后的代数式得：
$-3 × 4 + 18 = 6$
故原式的值为6。