7. 设$a$,$b$是实数,定义$@$的一种运算如下：$a@b= (a + b)^{2}-(a - b)^{2}$,则下列结论：
(1) 若$a@b = 0$,则$a = 0或b = 0$；
(2) $a@(b + c)= a@b + a@c$；
(3) 不存在实数$a$,$b$,满足$a@b = a^{2}+5b^{2}$；
(4) 设$a$,$b$是矩形的长和宽,若矩形的周长固定,则当$a = b$时,$a@b$最大。
以上结论正确的有哪些？
(1) 若$a@b = 0$,则$a = 0或b = 0$；
(2) $a@(b + c)= a@b + a@c$；
(3) 不存在实数$a$,$b$,满足$a@b = a^{2}+5b^{2}$；
(4) 设$a$,$b$是矩形的长和宽,若矩形的周长固定,则当$a = b$时,$a@b$最大。
以上结论正确的有哪些？
答案：（1）（2）（4）.
解析：
（1）$a@b=(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，若$a@b=0$，则$4ab=0$，即$a=0$或$b=0$，正确；
（2）$a@(b+c)=4a(b+c)=4ab+4ac=a@b+a@c$，正确；
（3）$a@b=4ab=a^2+5b^2$，即$a^2-4ab+5b^2=0$，$(a-2b)^2+b^2=0$，则$a=2b=0$，存在$a=b=0$满足，错误；
（4）设周长为$2C$，则$a+b=C$，$a@b=4ab=4a(C-a)=-4(a-\frac{C}{2})^2+C^2$，当$a=b=\frac{C}{2}$时，$a@b$最大，正确。
（1）（2）（4）
（2）$a@(b+c)=4a(b+c)=4ab+4ac=a@b+a@c$，正确；
（3）$a@b=4ab=a^2+5b^2$，即$a^2-4ab+5b^2=0$，$(a-2b)^2+b^2=0$，则$a=2b=0$，存在$a=b=0$满足，错误；
（4）设周长为$2C$，则$a+b=C$，$a@b=4ab=4a(C-a)=-4(a-\frac{C}{2})^2+C^2$，当$a=b=\frac{C}{2}$时，$a@b$最大，正确。
（1）（2）（4）
1. 如图(1),在边长为$a$米的正方形草坪上修建两条宽为$b$米的道路。
(1) 为了求得剩余草坪的面积,小明同学想出了两种方法。
方法①：用正方形面积减道路面积；
方法②：将道路平移到如图(2)所示的位置。
请你根据小明的两种求面积的方法,直接写出含有字母$a$,$b$的代数式表示的等式：
(2) 根据(1)中的等式,解决如下问题：
① 已知$a - b = 5$,$a^{2}+b^{2}= 20$,求$ab$的值；
② 已知$(x - 2023)^{2}+(x - 2025)^{2}= 12$,求$(x - 2024)^{2}$的值。
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(1) 为了求得剩余草坪的面积,小明同学想出了两种方法。
方法①：用正方形面积减道路面积；
方法②：将道路平移到如图(2)所示的位置。
请你根据小明的两种求面积的方法,直接写出含有字母$a$,$b$的代数式表示的等式：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
。(2) 根据(1)中的等式,解决如下问题：
① 已知$a - b = 5$,$a^{2}+b^{2}= 20$,求$ab$的值；
② 已知$(x - 2023)^{2}+(x - 2025)^{2}= 12$,求$(x - 2024)^{2}$的值。
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① 把$a-b=5$，$a^2+b^2=20$代入$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$\therefore 5^2=20-2ab$，$\therefore ab=-2.5$. ② 5.
答案：（1）$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；（2）① 把$a-b=5$，$a^2+b^2=20$代入$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$\therefore 5^2=20-2ab$，$\therefore ab=-2.5$. ② 5.
解析：
（1）$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
（2）① 把$a-b=5$，$a^2+b^2=20$代入$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$5^2=20-2ab$，解得$ab=-\frac{5}{2}$
② 设$y=x-2024$，则$(x-2023)=y+1$，$(x-2025)=y-1$，原方程化为$(y+1)^2+(y-1)^2=12$，展开得$y^2+2y+1+y^2-2y+1=12$，即$2y^2+2=12$，$2y^2=10$，$y^2=5$，故$(x-2024)^2=5$
（2）① 把$a-b=5$，$a^2+b^2=20$代入$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$5^2=20-2ab$，解得$ab=-\frac{5}{2}$
② 设$y=x-2024$，则$(x-2023)=y+1$，$(x-2025)=y-1$，原方程化为$(y+1)^2+(y-1)^2=12$，展开得$y^2+2y+1+y^2-2y+1=12$，即$2y^2+2=12$，$2y^2=10$，$y^2=5$，故$(x-2024)^2=5$
2. 已知$a$,$b$,$c为\triangle ABC$的三边长,且$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}= 2ab + 2ac + 2bc$,试判断$\triangle ABC$的形状,并证明你的结论。
答案：$\triangle ABC$是等边三角形. 证明如下：$\because 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc$，$\therefore 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0$，即$a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0$，$\therefore (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0$，$\therefore a-b=0$，$a-c=0$，$b-c=0$，得$a=b$，$a=c$，$b=c$，即$a=b=c$，所以$\triangle ABC$是等边三角形.