例题3 如图14 - 4 - 3(a)所示的电路,当开关$S$断开、滑动变阻器的滑片$P位于b$端时,电流表的示数为$0.2A$；当开关$S$闭合,滑动变阻器的滑片$P位于a$端时,电流表的示数为$1A$,且灯泡正常发光。若不计温度对灯丝电阻的影响,电源电压不变且大于$8V$,$R_1 = 15\Omega$,滑动变阻器$R的最大阻值为20\Omega$,求灯泡的电阻和灯泡正常工作时的电压。
解析 画出滑片$P分别在b端和a$端时电阻的连接方式,然后列出总电压、电流和电阻的关系式。
已知$R_1 = 15\Omega$,$R_{ab} = 20\Omega$,$U ＞ 8V$。
当$S$断开,滑片在$b$端时,等效电路如图14 - 4 - 3(b)所示；当$S$闭合,滑片在$a$端时,等效电路如图14 - 4 - 3(c)所示。根据欧姆定律分别可得：
$I = \frac{U}{R_L + R_{ab}}$；$I' = \frac{U}{R_L} + \frac{U}{R_1}$。
$U$不变,将$R_1$、$R_{ab}$代入,得：
$U = 6V$(舍去)和$U = 10V$,$R_L = 30\Omega$。
灯泡的电阻为$30\Omega$,灯泡正常工作时的电压为$10V$。
说明 不能直接计算得出的结果可以列方程解题。首先找出题目中不变的物理量(没有数值的可以用符号代替),然后分析它们在各个状态时的关系,列出关系式,各个关系式之间组成方程组,最后代入数据解出结果。通常,所得的结果需要回到题目检验,将不符合的结果舍去。
解析 画出滑片$P分别在b端和a$端时电阻的连接方式,然后列出总电压、电流和电阻的关系式。
已知$R_1 = 15\Omega$,$R_{ab} = 20\Omega$,$U ＞ 8V$。
当$S$断开,滑片在$b$端时,等效电路如图14 - 4 - 3(b)所示；当$S$闭合,滑片在$a$端时,等效电路如图14 - 4 - 3(c)所示。根据欧姆定律分别可得：
$I = \frac{U}{R_L + R_{ab}}$；$I' = \frac{U}{R_L} + \frac{U}{R_1}$。
$U$不变,将$R_1$、$R_{ab}$代入,得：
$U = 6V$(舍去)和$U = 10V$,$R_L = 30\Omega$。
灯泡的电阻为$30\Omega$,灯泡正常工作时的电压为$10V$。
说明 不能直接计算得出的结果可以列方程解题。首先找出题目中不变的物理量(没有数值的可以用符号代替),然后分析它们在各个状态时的关系,列出关系式,各个关系式之间组成方程组,最后代入数据解出结果。通常,所得的结果需要回到题目检验,将不符合的结果舍去。
答案：解：
1. 开关S断开，滑片在b端时（等效电路串联）：
电路为灯泡$R_L$与滑动变阻器最大阻值$R=20\Omega$串联，电流$I=0.2A$。
由欧姆定律得电源电压：
$U = I(R_L + R) = 0.2A × (R_L + 20\Omega)$ ①
2. 开关S闭合，滑片在a端时（等效电路并联）：
滑动变阻器阻值为0，$R_1=15\Omega$与$R_L$并联，干路电流$I'=1A$。
并联电路总电流$I' = I_L + I_1$，其中$I_L=\frac{U}{R_L}$，$I_1=\frac{U}{R_1}$。
故：$1A = \frac{U}{R_L} + \frac{U}{15\Omega}$ ②
3. 联立方程求解：
将①式$U = 0.2(R_L + 20)$代入②式：
$1 = \frac{0.2(R_L + 20)}{R_L} + \frac{0.2(R_L + 20)}{15}$
化简得：$R_L^2 - 40R_L + 300 = 0$
解得：$R_L=30\Omega$（$R_L=10\Omega$时，$U=6V＜8V$舍去）
4. 灯泡正常工作电压：
代入$R_L=30\Omega$到①式，得$U=0.2A × (30\Omega + 20\Omega)=10V$，即灯泡正常工作电压为$10V$。
结论：
灯泡电阻为$30\Omega$，正常工作时的电压为$10V$。
1. 开关S断开，滑片在b端时（等效电路串联）：
电路为灯泡$R_L$与滑动变阻器最大阻值$R=20\Omega$串联，电流$I=0.2A$。
由欧姆定律得电源电压：
$U = I(R_L + R) = 0.2A × (R_L + 20\Omega)$ ①
2. 开关S闭合，滑片在a端时（等效电路并联）：
滑动变阻器阻值为0，$R_1=15\Omega$与$R_L$并联，干路电流$I'=1A$。
并联电路总电流$I' = I_L + I_1$，其中$I_L=\frac{U}{R_L}$，$I_1=\frac{U}{R_1}$。
故：$1A = \frac{U}{R_L} + \frac{U}{15\Omega}$ ②
3. 联立方程求解：
将①式$U = 0.2(R_L + 20)$代入②式：
$1 = \frac{0.2(R_L + 20)}{R_L} + \frac{0.2(R_L + 20)}{15}$
化简得：$R_L^2 - 40R_L + 300 = 0$
解得：$R_L=30\Omega$（$R_L=10\Omega$时，$U=6V＜8V$舍去）
4. 灯泡正常工作电压：
代入$R_L=30\Omega$到①式，得$U=0.2A × (30\Omega + 20\Omega)=10V$，即灯泡正常工作电压为$10V$。
结论：
灯泡电阻为$30\Omega$，正常工作时的电压为$10V$。
解析：
已知$R_1 = 15\Omega$，滑动变阻器最大阻值$R_{ab}=20\Omega$，电源电压$U＞8V$。
当开关$S$断开、滑片$P$位于$b$端时，$R_L$与$R_{ab}$串联，电流$I = 0.2A$，根据欧姆定律可得：$U=I(R_L + R_{ab})=0.2A×(R_L + 20\Omega)$。
当开关$S$闭合、滑片$P$位于$a$端时，$R_L$与$R_1$并联，总电流$I' = 1A$，根据并联电路电流规律和欧姆定律可得：$I'=\frac{U}{R_L}+\frac{U}{R_1}$，即$1A=\frac{U}{R_L}+\frac{U}{15\Omega}$。
联立上述两式，将$U = 0.2(R_L + 20)$代入$1=\frac{U}{R_L}+\frac{U}{15}$，解得$U = 6V$（舍去，因$U＞8V$）或$U = 10V$，此时$R_L=30\Omega$。
灯泡电阻为$30\Omega$，正常工作电压为$10V$。
当开关$S$断开、滑片$P$位于$b$端时，$R_L$与$R_{ab}$串联，电流$I = 0.2A$，根据欧姆定律可得：$U=I(R_L + R_{ab})=0.2A×(R_L + 20\Omega)$。
当开关$S$闭合、滑片$P$位于$a$端时，$R_L$与$R_1$并联，总电流$I' = 1A$，根据并联电路电流规律和欧姆定律可得：$I'=\frac{U}{R_L}+\frac{U}{R_1}$，即$1A=\frac{U}{R_L}+\frac{U}{15\Omega}$。
联立上述两式，将$U = 0.2(R_L + 20)$代入$1=\frac{U}{R_L}+\frac{U}{15}$，解得$U = 6V$（舍去，因$U＞8V$）或$U = 10V$，此时$R_L=30\Omega$。
灯泡电阻为$30\Omega$，正常工作电压为$10V$。