如图，在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，锐角$A$所对的直角边称为$\angle A$的对边.锐角$A$的
对边与斜边
的比叫做$\angle A$的正弦，记作$\sin A$
，即$\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$
.答案：对边与斜边 $\sin A$ $\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$
1. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，下列等式成立的是 (
A.$\sin A = \frac{AC}{AB}$
B.$\sin A = \frac{BC}{AB}$
C.$\sin A = \frac{AC}{BC}$
D.$\sin A = \frac{BC}{AC}$
B
)A.$\sin A = \frac{AC}{AB}$
B.$\sin A = \frac{BC}{AB}$
C.$\sin A = \frac{AC}{BC}$
D.$\sin A = \frac{BC}{AC}$
答案：1.B
解析：
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，根据正弦函数定义，$\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，故等式成立的是B选项。
B
B
2. 如图，在平面直角坐标系中，点$P$的坐标为$(3,4)$，则$OP$与$x$轴正半轴所夹锐角$\alpha$的正弦值为 (
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
B
)A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案：2.B
解析：
解：过点$P$作$PA \perp x$轴于点$A$，则$OA=3$，$PA=4$。
在$Rt\triangle OPA$中，由勾股定理得：$OP=\sqrt{OA^{2}+PA^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
$\sin\alpha=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
答案：B
在$Rt\triangle OPA$中，由勾股定理得：$OP=\sqrt{OA^{2}+PA^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
$\sin\alpha=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
答案：B
3. 在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$AB = 2$，$BC = \sqrt{3}$，则$\sin A =$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案：3.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{BC}{AB}$。已知$AB = 2$，$BC = \sqrt{3}$，所以$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
4. 在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，如果$\frac{AC}{BC} = \frac{3}{4}$，那么$\sin B =$
$\frac{3}{5}$
.答案：4.$\frac{3}{5}$
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，设$AC = 3k$，$BC = 4k$（$k ＞ 0$）。
由勾股定理得，$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{(3k)^2 + (4k)^2}=\sqrt{9k^2 + 16k^2}=\sqrt{25k^2}=5k$。
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
$\frac{3}{5}$
由勾股定理得，$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{(3k)^2 + (4k)^2}=\sqrt{9k^2 + 16k^2}=\sqrt{25k^2}=5k$。
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
$\frac{3}{5}$
5. 如图，在由边长为$1$的小正方形组成的网格中，$\triangle ABC$的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，$E$为$BC$的中点，连接$AE$.求$\sin \angle CAE$的值.
答案：5.由题意，得$AB = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$，$AC = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$，$\therefore AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$．$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle BAC = 90^{\circ}$．$\because E$为$BC$的中点，$\therefore AE = CE$．
$\therefore \angle CAE = \angle ECA$．$\therefore \sin\angle CAE = \sin\angle ECA = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
$BC = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$，$\therefore AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$．$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle BAC = 90^{\circ}$．$\because E$为$BC$的中点，$\therefore AE = CE$．
$\therefore \angle CAE = \angle ECA$．$\therefore \sin\angle CAE = \sin\angle ECA = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$