【例 2】计算：
(1) $(\frac{-2a}{-b})^{2} = $ ；
(2) $(-\frac{2x^{3}y^{4}}{3z^{3}})^{3} = $ 。
答案 (1) $\frac{4a^{2}}{b^{2}}$ (2) $-\frac{8x^{9}y^{12}}{27z^{9}}$
总结 分式乘方的注意事项：
(1) 分式乘方时，一定要把分式加上括号；
(2) 分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体；
(3) 运算结果必须化成最简分式或整式。
(1) $(\frac{-2a}{-b})^{2} = $ ；
(2) $(-\frac{2x^{3}y^{4}}{3z^{3}})^{3} = $ 。
答案 (1) $\frac{4a^{2}}{b^{2}}$ (2) $-\frac{8x^{9}y^{12}}{27z^{9}}$
总结 分式乘方的注意事项：
(1) 分式乘方时，一定要把分式加上括号；
(2) 分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体；
(3) 运算结果必须化成最简分式或整式。
答案：(1)
首先，根据分式乘方的定义，$(\frac{-2a}{-b})^{2}$需要将分子$-2a$和分母$-b$分别进行平方：
$(\frac{-2a}{-b})^{2} = \frac{(-2a)^{2}}{(-b)^{2}}$
然后，根据平方的运算性质，负数的平方是正数，所以：
$\frac{(-2a)^{2}}{(-b)^{2}} = \frac{4a^{2}}{b^{2}}$
(2)
首先，根据分式乘方的定义，$(-\frac{2x^{3}y^{4}}{3z^{3}})^{3}$，需要将整个分式的分子和分母分别进行立方，同时注意到负数的奇数次方仍为负数：
$(-\frac{2x^{3}y^{4}}{3z^{3}})^{3} = -(\frac{2x^{3}y^{4}}{3z^{3}})^{3} = -\frac{(2x^{3}y^{4})^{3}}{(3z^{3})^{3}}$
然后，根据立方的运算性质，以及积的乘方等于乘方的积，所以：
$ -\frac{(2x^{3}y^{4})^{3}}{(3z^{3})^{3}}= -\frac{8x^{9}y^{12}}{27z^{9}}$
首先，根据分式乘方的定义，$(\frac{-2a}{-b})^{2}$需要将分子$-2a$和分母$-b$分别进行平方：
$(\frac{-2a}{-b})^{2} = \frac{(-2a)^{2}}{(-b)^{2}}$
然后，根据平方的运算性质，负数的平方是正数，所以：
$\frac{(-2a)^{2}}{(-b)^{2}} = \frac{4a^{2}}{b^{2}}$
(2)
首先，根据分式乘方的定义，$(-\frac{2x^{3}y^{4}}{3z^{3}})^{3}$，需要将整个分式的分子和分母分别进行立方，同时注意到负数的奇数次方仍为负数：
$(-\frac{2x^{3}y^{4}}{3z^{3}})^{3} = -(\frac{2x^{3}y^{4}}{3z^{3}})^{3} = -\frac{(2x^{3}y^{4})^{3}}{(3z^{3})^{3}}$
然后，根据立方的运算性质，以及积的乘方等于乘方的积，所以：
$ -\frac{(2x^{3}y^{4})^{3}}{(3z^{3})^{3}}= -\frac{8x^{9}y^{12}}{27z^{9}}$
· 跟踪练习2 计算 $(-\frac{3y}{x})^{2}$ 的结果是()。
A.$\frac{9y^{2}}{x^{2}}$
B.$-\frac{9y^{2}}{x^{2}}$
C.$\frac{6y^{2}}{x^{2}}$
D.$-\frac{6y^{2}}{x^{2}}$
A.$\frac{9y^{2}}{x^{2}}$
B.$-\frac{9y^{2}}{x^{2}}$
C.$\frac{6y^{2}}{x^{2}}$
D.$-\frac{6y^{2}}{x^{2}}$
答案：A
解析：
$(-\frac{3y}{x})^{2}=(-1)^2 · (\frac{3y}{x})^2=1 · \frac{(3y)^2}{x^2}=\frac{9y^2}{x^2}$
1. 下列各式：① $(\frac{-2mn}{a^{2}b})^{2}$；② $-\frac{8m^{4}n^{2}}{a^{5}b} · \frac{an}{bm^{2}}$；③ $(\frac{2m}{-ab^{2}})^{2} · (\frac{nb}{a})^{2}$；④ $\frac{2mn^{2}}{ab^{2}} ÷ \frac{a^{3}}{m}$。其中计算结果相等的是()。
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
答案：C
解析：
①$(\frac{-2mn}{a^{2}b})^{2}=\frac{(-2mn)^{2}}{(a^{2}b)^{2}}=\frac{4m^{2}n^{2}}{a^{4}b^{2}}$；
②$-\frac{8m^{4}n^{2}}{a^{5}b}·\frac{an}{bm^{2}}=-\frac{8m^{4}n^{2}·an}{a^{5}b·bm^{2}}=-\frac{8m^{2}n^{3}}{a^{4}b^{2}}$；
③$(\frac{2m}{-ab^{2}})^{2}·(\frac{nb}{a})^{2}=\frac{4m^{2}}{a^{2}b^{4}}·\frac{n^{2}b^{2}}{a^{2}}=\frac{4m^{2}n^{2}}{a^{4}b^{2}}$；
④$\frac{2mn^{2}}{ab^{2}}÷\frac{a^{3}}{m}=\frac{2mn^{2}}{ab^{2}}·\frac{m}{a^{3}}=\frac{2m^{2}n^{2}}{a^{4}b^{2}}$。
①和③结果相等。
②$-\frac{8m^{4}n^{2}}{a^{5}b}·\frac{an}{bm^{2}}=-\frac{8m^{4}n^{2}·an}{a^{5}b·bm^{2}}=-\frac{8m^{2}n^{3}}{a^{4}b^{2}}$；
③$(\frac{2m}{-ab^{2}})^{2}·(\frac{nb}{a})^{2}=\frac{4m^{2}}{a^{2}b^{4}}·\frac{n^{2}b^{2}}{a^{2}}=\frac{4m^{2}n^{2}}{a^{4}b^{2}}$；
④$\frac{2mn^{2}}{ab^{2}}÷\frac{a^{3}}{m}=\frac{2mn^{2}}{ab^{2}}·\frac{m}{a^{3}}=\frac{2m^{2}n^{2}}{a^{4}b^{2}}$。
①和③结果相等。
2. 计算 $(-\frac{x^{2}}{y})^{2} · (-\frac{y^{2}}{x})^{3} ÷ (-\frac{y}{x})^{4}$ 的结果是()。
A.$\frac{y^{8}}{x^{3}}$
B.$-\frac{y^{8}}{x^{3}}$
C.$-x^{5}$
D.$x^{5}$
A.$\frac{y^{8}}{x^{3}}$
B.$-\frac{y^{8}}{x^{3}}$
C.$-x^{5}$
D.$x^{5}$
答案：C
解析：
先计算各分式的乘方：
$(-\frac{x^{2}}{y})^{2}=\frac{x^{4}}{y^{2}}$，$(-\frac{y^{2}}{x})^{3}=-\frac{y^{6}}{x^{3}}$，$(-\frac{y}{x})^{4}=\frac{y^{4}}{x^{4}}$。
原式变为$\frac{x^{4}}{y^{2}}·(-\frac{y^{6}}{x^{3}})÷\frac{y^{4}}{x^{4}}$。
计算乘法：$\frac{x^{4}}{y^{2}}·(-\frac{y^{6}}{x^{3}})=-x y^{4}$。
计算除法：$-x y^{4}÷\frac{y^{4}}{x^{4}}=-x y^{4}·\frac{x^{4}}{y^{4}}=-x^{5}$。
$(-\frac{x^{2}}{y})^{2}=\frac{x^{4}}{y^{2}}$，$(-\frac{y^{2}}{x})^{3}=-\frac{y^{6}}{x^{3}}$，$(-\frac{y}{x})^{4}=\frac{y^{4}}{x^{4}}$。
原式变为$\frac{x^{4}}{y^{2}}·(-\frac{y^{6}}{x^{3}})÷\frac{y^{4}}{x^{4}}$。
计算乘法：$\frac{x^{4}}{y^{2}}·(-\frac{y^{6}}{x^{3}})=-x y^{4}$。
计算除法：$-x y^{4}÷\frac{y^{4}}{x^{4}}=-x y^{4}·\frac{x^{4}}{y^{4}}=-x^{5}$。
3. 当 $a=2025$，$b=1$ 时，$(ab^{3})^{2} · (-\frac{b}{a^{2}})^{3} ÷ (-\frac{b}{a})^{4} = $ 。
答案：-（或 负1对应的选项，如果以填空等形式则直接填$-1$） （由于这里不是选择题，按要求填结果数值）$-1$
解析：
本题可根据幂的运算法则先对原式进行化简，再将$a = 2025$，$b = 1$代入化简后的式子求值。
步骤一：根据幂的运算法则化简原式
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，对$(ab^{3})^{2}$进行化简：
$(ab^{3})^{2}=a^{2}(b^{3})^{2}=a^{2}b^{6}$
根据积的乘方法则与幂的乘方法则对$(-\frac{b}{a^{2}})^{3}$进行化简：
$(-\frac{b}{a^{2}})^{3}=(-1)^3×\frac{b^{3}}{(a^{2})^{3}}=-\frac{b^{3}}{a^{6}}$
根据积的乘方法则对$(-\frac{b}{a})^{4}$进行化简：
$(-\frac{b}{a})^{4}=(-1)^4×\frac{b^{4}}{a^{4}}=\frac{b^{4}}{a^{4}}$
将上述化简结果代入原式，根据分式乘除法法则进行计算：
$\begin{aligned}&(ab^{3})^{2} · (-\frac{b}{a^{2}})^{3} ÷ (-\frac{b}{a})^{4}\\=&a^{2}b^{6} · (-\frac{b^{3}}{a^{6}}) ÷ \frac{b^{4}}{a^{4}}\\=&a^{2}b^{6} · (-\frac{b^{3}}{a^{6}}) · \frac{a^{4}}{b^{4}}\\=&-\frac{a^{2}b^{6}· b^{3}· a^{4}}{a^{6}· b^{4}}\\=&-\frac{a^{2 + 4}b^{6 + 3}}{a^{6}b^{4}}\\=&-\frac{a^{6}b^{9}}{a^{6}b^{4}}\\=& -b^{9 - 4}\\=& -b^{5}\end{aligned}$
步骤二：代入$b$的值求值
将$b = 1$代入$-b^{5}$可得：$-1^{5}=-1$。
步骤一：根据幂的运算法则化简原式
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，对$(ab^{3})^{2}$进行化简：
$(ab^{3})^{2}=a^{2}(b^{3})^{2}=a^{2}b^{6}$
根据积的乘方法则与幂的乘方法则对$(-\frac{b}{a^{2}})^{3}$进行化简：
$(-\frac{b}{a^{2}})^{3}=(-1)^3×\frac{b^{3}}{(a^{2})^{3}}=-\frac{b^{3}}{a^{6}}$
根据积的乘方法则对$(-\frac{b}{a})^{4}$进行化简：
$(-\frac{b}{a})^{4}=(-1)^4×\frac{b^{4}}{a^{4}}=\frac{b^{4}}{a^{4}}$
将上述化简结果代入原式，根据分式乘除法法则进行计算：
$\begin{aligned}&(ab^{3})^{2} · (-\frac{b}{a^{2}})^{3} ÷ (-\frac{b}{a})^{4}\\=&a^{2}b^{6} · (-\frac{b^{3}}{a^{6}}) ÷ \frac{b^{4}}{a^{4}}\\=&a^{2}b^{6} · (-\frac{b^{3}}{a^{6}}) · \frac{a^{4}}{b^{4}}\\=&-\frac{a^{2}b^{6}· b^{3}· a^{4}}{a^{6}· b^{4}}\\=&-\frac{a^{2 + 4}b^{6 + 3}}{a^{6}b^{4}}\\=&-\frac{a^{6}b^{9}}{a^{6}b^{4}}\\=& -b^{9 - 4}\\=& -b^{5}\end{aligned}$
步骤二：代入$b$的值求值
将$b = 1$代入$-b^{5}$可得：$-1^{5}=-1$。
4. 已知 $\frac{b}{a} = \frac{4}{5}$，求 $(\frac{a-b}{a})^{2025} · (\frac{a}{b-a})^{2026}$ 的值。
答案：5
解析：
已知$\frac{b}{a} = \frac{4}{5}$，设$a = 5k$，则$b = 4k$（$k ≠ 0$）。
$\begin{aligned}&(\frac{a - b}{a})^{2025} · (\frac{a}{b - a})^{2026}\\=&(\frac{a - b}{a})^{2025} · (\frac{a}{-(a - b)})^{2026}\\=&(\frac{a - b}{a})^{2025} · (-\frac{a}{a - b})^{2026}\\=&(\frac{a - b}{a})^{2025} · (\frac{a}{a - b})^{2026}\\=&(\frac{a - b}{a} · \frac{a}{a - b})^{2025} · \frac{a}{a - b}\\=&1^{2025} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a}{a - b}\end{aligned}$
将$a = 5k$，$b = 4k$代入$\frac{a}{a - b}$：
$\frac{a}{a - b} = \frac{5k}{5k - 4k} = \frac{5k}{k} = 5$
$\begin{aligned}&(\frac{a - b}{a})^{2025} · (\frac{a}{b - a})^{2026}\\=&(\frac{a - b}{a})^{2025} · (\frac{a}{-(a - b)})^{2026}\\=&(\frac{a - b}{a})^{2025} · (-\frac{a}{a - b})^{2026}\\=&(\frac{a - b}{a})^{2025} · (\frac{a}{a - b})^{2026}\\=&(\frac{a - b}{a} · \frac{a}{a - b})^{2025} · \frac{a}{a - b}\\=&1^{2025} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a}{a - b}\end{aligned}$
将$a = 5k$，$b = 4k$代入$\frac{a}{a - b}$：
$\frac{a}{a - b} = \frac{5k}{5k - 4k} = \frac{5k}{k} = 5$
5. 计算：
(1) $(-\frac{2a}{c})^{3} · \frac{c^{4}}{8ab}$；
(2) $(\frac{a^{2}b}{-c})^{4} · (\frac{c^{2}}{ab})^{3} ÷ (\frac{ac}{-b})^{5}$；
(3) $(\frac{a^{3}}{-2b})^{2} ÷ (-\frac{a^{2}}{b})^{3} · \frac{b}{2}$。
(1) $(-\frac{2a}{c})^{3} · \frac{c^{4}}{8ab}$；
(2) $(\frac{a^{2}b}{-c})^{4} · (\frac{c^{2}}{ab})^{3} ÷ (\frac{ac}{-b})^{5}$；
(3) $(\frac{a^{3}}{-2b})^{2} ÷ (-\frac{a^{2}}{b})^{3} · \frac{b}{2}$。
答案：(1) $(-\frac{2a}{c})^{3} · \frac{c^{4}}{8ab}$
$=-\frac{8a^{3}}{c^{3}}·\frac{c^{4}}{8ab}$
$=-\frac{8a^{3}·c^{4}}{c^{3}·8ab}$
$=-\frac{a^{2}c}{b}$
(2) $(\frac{a^{2}b}{-c})^{4} · (\frac{c^{2}}{ab})^{3} ÷ (\frac{ac}{-b})^{5}$
$=\frac{a^{8}b^{4}}{c^{4}}·\frac{c^{6}}{a^{3}b^{3}}÷(-\frac{a^{5}c^{5}}{b^{5}})$
$=\frac{a^{8}b^{4}·c^{6}}{c^{4}·a^{3}b^{3}}·(-\frac{b^{5}}{a^{5}c^{5}})$
$=\frac{a^{5}b c^{2}}{1}·(-\frac{b^{5}}{a^{5}c^{5}})$
$=-\frac{b^{6}}{c^{3}}$
(3) $(\frac{a^{3}}{-2b})^{2} ÷ (-\frac{a^{2}}{b})^{3} · \frac{b}{2}$
$=\frac{a^{6}}{4b^{2}}÷(-\frac{a^{6}}{b^{3}})·\frac{b}{2}$
$=\frac{a^{6}}{4b^{2}}·(-\frac{b^{3}}{a^{6}})·\frac{b}{2}$
$=-\frac{b}{4}·\frac{b}{2}$
$=-\frac{b^{2}}{8}$
$=-\frac{8a^{3}}{c^{3}}·\frac{c^{4}}{8ab}$
$=-\frac{8a^{3}·c^{4}}{c^{3}·8ab}$
$=-\frac{a^{2}c}{b}$
(2) $(\frac{a^{2}b}{-c})^{4} · (\frac{c^{2}}{ab})^{3} ÷ (\frac{ac}{-b})^{5}$
$=\frac{a^{8}b^{4}}{c^{4}}·\frac{c^{6}}{a^{3}b^{3}}÷(-\frac{a^{5}c^{5}}{b^{5}})$
$=\frac{a^{8}b^{4}·c^{6}}{c^{4}·a^{3}b^{3}}·(-\frac{b^{5}}{a^{5}c^{5}})$
$=\frac{a^{5}b c^{2}}{1}·(-\frac{b^{5}}{a^{5}c^{5}})$
$=-\frac{b^{6}}{c^{3}}$
(3) $(\frac{a^{3}}{-2b})^{2} ÷ (-\frac{a^{2}}{b})^{3} · \frac{b}{2}$
$=\frac{a^{6}}{4b^{2}}÷(-\frac{a^{6}}{b^{3}})·\frac{b}{2}$
$=\frac{a^{6}}{4b^{2}}·(-\frac{b^{3}}{a^{6}})·\frac{b}{2}$
$=-\frac{b}{4}·\frac{b}{2}$
$=-\frac{b^{2}}{8}$