6. 已知 $a^{2}-a=10$，求 $\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^{2}-4}{a^{2}-2a+1} ÷ \frac{1}{a^{2}-1}$ 的值。
答案：答题卡：
首先，将原式中的除法转化为乘法，并化简各个多项式：
$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^{2}-4}{a^{2}-2a+1} ÷ \frac{1}{a^{2}-1}$
$= \frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^{2}} · (a+1)(a-1)$
$= \frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)(a-1)} · (a+1)(a-1)$
$= (a+1)(a-2)$
$= a^{2} - a - 2$
然后，根据题目给出的条件 $a^{2} - a = 10$，代入上式得：
$a^{2} - a - 2 = 10 - 2 = 8$
故原式的值为8。
首先，将原式中的除法转化为乘法，并化简各个多项式：
$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^{2}-4}{a^{2}-2a+1} ÷ \frac{1}{a^{2}-1}$
$= \frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^{2}} · (a+1)(a-1)$
$= \frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)(a-1)} · (a+1)(a-1)$
$= (a+1)(a-2)$
$= a^{2} - a - 2$
然后，根据题目给出的条件 $a^{2} - a = 10$，代入上式得：
$a^{2} - a - 2 = 10 - 2 = 8$
故原式的值为8。
7. 在学习了分式的乘法与除法之后，老师给出了这样一道题，计算：$(a+\frac{1}{a})(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})(a^{4}+\frac{1}{a^{4}})(a^{8}+\frac{1}{a^{8}})(a^{2}-1)$，同学们都感到无从下手，嘉嘉将 $a^{2}-1$ 变形为 $a(a-\frac{1}{a})$，然后用平方差公式很轻松地得出了结论。你知道他是怎么做的吗？
答案：解：原式$=(a+\frac{1}{a})(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})(a^{4}+\frac{1}{a^{4}})(a^{8}+\frac{1}{a^{8}})· a(a-\frac{1}{a})$
$=a· (a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})(a^{4}+\frac{1}{a^{4}})(a^{8}+\frac{1}{a^{8}})$
$=a· (a^{2}-\frac{1}{a^{2}})(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})(a^{4}+\frac{1}{a^{4}})(a^{8}+\frac{1}{a^{8}})$
$=a· (a^{4}-\frac{1}{a^{4}})(a^{4}+\frac{1}{a^{4}})(a^{8}+\frac{1}{a^{8}})$
$=a· (a^{8}-\frac{1}{a^{8}})(a^{8}+\frac{1}{a^{8}})$
$=a· (a^{16}-\frac{1}{a^{16}})$
$=a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$
结论：$a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$
$=a· (a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})(a^{4}+\frac{1}{a^{4}})(a^{8}+\frac{1}{a^{8}})$
$=a· (a^{2}-\frac{1}{a^{2}})(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})(a^{4}+\frac{1}{a^{4}})(a^{8}+\frac{1}{a^{8}})$
$=a· (a^{4}-\frac{1}{a^{4}})(a^{4}+\frac{1}{a^{4}})(a^{8}+\frac{1}{a^{8}})$
$=a· (a^{8}-\frac{1}{a^{8}})(a^{8}+\frac{1}{a^{8}})$
$=a· (a^{16}-\frac{1}{a^{16}})$
$=a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$
结论：$a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$
8. （推理能力）给定一列分式：$\frac{x^{3}}{y}$，$-\frac{x^{5}}{y^{2}}$，$\frac{x^{7}}{y^{3}}$，$-\frac{x^{9}}{y^{4}}$，…，其中 $x ≠ 0$，用任意一个分式去除它后面的一个分式得到的结果是什么？根据你发现的规律，试写出第 9 个分式。
答案：用第二个分式$-\frac{x^{5}}{y^{2}}$除以第一个分式$\frac{x^{3}}{y}$，可得：
$\frac{-\frac{x^{5}}{y^{2}}}{\frac{x^{3}}{y}}=-\frac{x^{5}}{y^{2}}×\frac{y}{x^{3}}=-\frac{x^{2}}{y}$。
用第三个分式$\frac{x^{7}}{y^{3}}$除以第二个分式$-\frac{x^{5}}{y^{2}}$，可得：
$\frac{\frac{x^{7}}{y^{3}}}{-\frac{x^{5}}{y^{2}}}=\frac{x^{7}}{y^{3}}×(-\frac{y^{2}}{x^{5}})=-\frac{x^{2}}{y}$。
用第四个分式$-\frac{x^{9}}{y^{4}}$除以第三个分式$\frac{x^{7}}{y^{3}}$，可得：
$\frac{-\frac{x^{9}}{y^{4}}}{\frac{x^{7}}{y^{3}}}=-\frac{x^{9}}{y^{4}}×\frac{y^{3}}{x^{7}}=-\frac{x^{2}}{y}$。
所以用任意一个分式去除它后面的一个分式得到的结果是$-\frac{x^{2}}{y}$。
由这列分式可知，第$n$个分式的符号为$(-1)^{n + 1}$，$x$的指数为$2n + 1$，$y$的指数为$n$，所以第$n$个分式表示为$(-1)^{n + 1}\frac{x^{2n + 1}}{y^{n}}$。
当$n = 9$时，$(-1)^{9 + 1}\frac{x^{2×9 + 1}}{y^{9}}=\frac{x^{19}}{y^{9}}$。
综上，用任意一个分式去除它后面的一个分式得到的结果是$-\frac{x^{2}}{y}$；第9个分式是$\frac{x^{19}}{y^{9}}$。
$\frac{-\frac{x^{5}}{y^{2}}}{\frac{x^{3}}{y}}=-\frac{x^{5}}{y^{2}}×\frac{y}{x^{3}}=-\frac{x^{2}}{y}$。
用第三个分式$\frac{x^{7}}{y^{3}}$除以第二个分式$-\frac{x^{5}}{y^{2}}$，可得：
$\frac{\frac{x^{7}}{y^{3}}}{-\frac{x^{5}}{y^{2}}}=\frac{x^{7}}{y^{3}}×(-\frac{y^{2}}{x^{5}})=-\frac{x^{2}}{y}$。
用第四个分式$-\frac{x^{9}}{y^{4}}$除以第三个分式$\frac{x^{7}}{y^{3}}$，可得：
$\frac{-\frac{x^{9}}{y^{4}}}{\frac{x^{7}}{y^{3}}}=-\frac{x^{9}}{y^{4}}×\frac{y^{3}}{x^{7}}=-\frac{x^{2}}{y}$。
所以用任意一个分式去除它后面的一个分式得到的结果是$-\frac{x^{2}}{y}$。
由这列分式可知，第$n$个分式的符号为$(-1)^{n + 1}$，$x$的指数为$2n + 1$，$y$的指数为$n$，所以第$n$个分式表示为$(-1)^{n + 1}\frac{x^{2n + 1}}{y^{n}}$。
当$n = 9$时，$(-1)^{9 + 1}\frac{x^{2×9 + 1}}{y^{9}}=\frac{x^{19}}{y^{9}}$。
综上，用任意一个分式去除它后面的一个分式得到的结果是$-\frac{x^{2}}{y}$；第9个分式是$\frac{x^{19}}{y^{9}}$。